Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12394 / 20510
↖ ↑ ↗
← S 41.228249°
W 43.835449°		 ← 918.78 m → S 41.228249°
W 43.824463°		 →
↑
918.70 m
↓
↑
918.70 m
↓
S 41.236511°
W 43.835449°		 ← 918.67 m →
844 031 m²		 S 41.236511°
W 43.824463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378250122070312 y=0.625930786132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378250122070312 × 215)
    floor (0.378250122070312 × 32768)
    floor (12394.5)     		tx = 12394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625930786132812 × 215)
    floor (0.625930786132812 × 32768)
    floor (20510.5)     		ty = 20510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12394 / 20510 ti = "15/12394/20510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12394/20510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12394 ÷ 215
    12394 ÷ 32768     		x = 0.37823486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20510 ÷ 215
    20510 ÷ 32768     		y = 0.62591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37823486328125 × 2 - 1) × π
    -0.2435302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76507292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62591552734375 × 2 - 1) × π
    -0.2518310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.791150591329407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76507292} λ = -0.76507292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.791150591329407))-π/2
    2×atan(0.453322905694401)-π/2
    2×0.425613818332405-π/2
    0.85122763666481-1.57079632675     		φ = -0.71956869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76507292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.835449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71956869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.228249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12394 KachelY 20510 -0.76507292 -0.71956869 -43.835449 -41.228249
    Oben rechts KachelX + 1 12395 KachelY 20510 -0.76488117 -0.71956869 -43.824463 -41.228249
    Unten links KachelX 12394 KachelY + 1 20511 -0.76507292 -0.71971289 -43.835449 -41.236511
    Unten rechts KachelX + 1 12395 KachelY + 1 20511 -0.76488117 -0.71971289 -43.824463 -41.236511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71956869--0.71971289) × R
    0.000144200000000039 × 6371000     		dl = 918.698200000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71956869--0.71971289) × R
    0.000144200000000039 × 6371000     		dr = 918.698200000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76507292--0.76488117) × cos(-0.71956869) × R
    0.000191750000000046 × 0.752090058406369 × 6371000     		do = 918.782734884234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76507292--0.76488117) × cos(-0.71971289) × R
    0.000191750000000046 × 0.751995014084982 × 6371000     		du = 918.666625010737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71956869)-sin(-0.71971289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752090058406369-0.751995014084982)×R²
    abs(-0.76488117--0.76507292)×9.50443213876273e-05×R²
    0.000191750000000046×9.50443213876273e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.50443213876273e-05×40589641000000     		ar = 844030.711226066m²