Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123938 / 25693
↖ ↑ ↗
← N 73.152828°
E160.405884°		 ← 88.52 m → N 73.152828°
E160.408630°		 →
↑
88.56 m
↓
↑
88.56 m
↓
N 73.152032°
E160.405884°		 ← 88.52 m →
7 839 m²		 N 73.152032°
E160.408630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945575714111328 y=0.196025848388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945575714111328 × 217)
    floor (0.945575714111328 × 131072)
    floor (123938.5)     		tx = 123938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196025848388672 × 217)
    floor (0.196025848388672 × 131072)
    floor (25693.5)     		ty = 25693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123938 / 25693 ti = "17/123938/25693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123938/25693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123938 ÷ 217
    123938 ÷ 131072     		x = 0.945571899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25693 ÷ 217
    25693 ÷ 131072     		y = 0.196022033691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945571899414062 × 2 - 1) × π
    0.891143798828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79961081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196022033691406 × 2 - 1) × π
    0.607955932617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.9099498915619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79961081} λ = 2.79961081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9099498915619))-π/2
    2×atan(6.7527504202771)-π/2
    2×1.4237770172925-π/2
    2.847554034585-1.57079632675     		φ = 1.27675771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79961081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.405884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27675771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.152828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123938 KachelY 25693 2.79961081 1.27675771 160.405884 73.152828
    Oben rechts KachelX + 1 123939 KachelY 25693 2.79965875 1.27675771 160.408630 73.152828
    Unten links KachelX 123938 KachelY + 1 25694 2.79961081 1.27674381 160.405884 73.152032
    Unten rechts KachelX + 1 123939 KachelY + 1 25694 2.79965875 1.27674381 160.408630 73.152032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27675771-1.27674381) × R
    1.39000000001221e-05 × 6371000     		dl = 88.5569000007782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27675771-1.27674381) × R
    1.39000000001221e-05 × 6371000     		dr = 88.5569000007782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79961081-2.79965875) × cos(1.27675771) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.289819862395848 × 6371000     		do = 88.518445938892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79961081-2.79965875) × cos(1.27674381) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.289833165796704 × 6371000     		du = 88.5225091399428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27675771)-sin(1.27674381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289819862395848-0.289833165796704)×R²
    abs(2.79965875-2.79961081)×1.3303400855702e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3303400855702e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3303400855702e-05×40589641000000     		ar = 7839.09907748973m²