Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123936 / 25698
↖ ↑ ↗
← N 73.148847°
E160.400391°		 ← 88.52 m → N 73.148847°
E160.403137°		 →
↑
88.49 m
↓
↑
88.49 m
↓
N 73.148051°
E160.400391°		 ← 88.52 m →
7 834 m²		 N 73.148051°
E160.403137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945560455322266 y=0.196063995361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945560455322266 × 217)
    floor (0.945560455322266 × 131072)
    floor (123936.5)     		tx = 123936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196063995361328 × 217)
    floor (0.196063995361328 × 131072)
    floor (25698.5)     		ty = 25698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123936 / 25698 ti = "17/123936/25698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123936/25698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123936 ÷ 217
    123936 ÷ 131072     		x = 0.945556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25698 ÷ 217
    25698 ÷ 131072     		y = 0.196060180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945556640625 × 2 - 1) × π
    0.89111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79951494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196060180664062 × 2 - 1) × π
    0.607879638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.9097102070638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79951494} λ = 2.79951494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9097102070638))-π/2
    2×atan(6.75113208463455)-π/2
    2×1.42374228064405-π/2
    2.84748456128809-1.57079632675     		φ = 1.27668823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79951494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.400391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27668823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.148847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123936 KachelY 25698 2.79951494 1.27668823 160.400391 73.148847
    Oben rechts KachelX + 1 123937 KachelY 25698 2.79956287 1.27668823 160.403137 73.148847
    Unten links KachelX 123936 KachelY + 1 25699 2.79951494 1.27667434 160.400391 73.148051
    Unten rechts KachelX + 1 123937 KachelY + 1 25699 2.79956287 1.27667434 160.403137 73.148051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27668823-1.27667434) × R
    1.38899999999609e-05 × 6371000     		dl = 88.4931899997508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27668823-1.27667434) × R
    1.38899999999609e-05 × 6371000     		dr = 88.4931899997508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79951494-2.79956287) × cos(1.27668823) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.289886359698892 × 6371000     		do = 88.520287267018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79951494-2.79956287) × cos(1.27667434) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.289899653249239 × 6371000     		du = 88.5243466125378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27668823)-sin(1.27667434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289886359698892-0.289899653249239)×R²
    abs(2.79956287-2.79951494)×1.32935503466269e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.32935503466269e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.32935503466269e-05×40589641000000     		ar = 7833.62221235525m²