Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123935 / 25694
↖ ↑ ↗
← N 73.152032°
E160.397644°		 ← 88.52 m → N 73.152032°
E160.400391°		 →
↑
88.49 m
↓
↑
88.49 m
↓
N 73.151236°
E160.397644°		 ← 88.53 m →
7 834 m²		 N 73.151236°
E160.400391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945552825927734 y=0.196033477783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945552825927734 × 217)
    floor (0.945552825927734 × 131072)
    floor (123935.5)     		tx = 123935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196033477783203 × 217)
    floor (0.196033477783203 × 131072)
    floor (25694.5)     		ty = 25694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123935 / 25694 ti = "17/123935/25694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123935/25694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123935 ÷ 217
    123935 ÷ 131072     		x = 0.945549011230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25694 ÷ 217
    25694 ÷ 131072     		y = 0.196029663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945549011230469 × 2 - 1) × π
    0.891098022460938 × 3.1415926535     		Λ = 2.79946700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196029663085938 × 2 - 1) × π
    0.607940673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90990195466228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79946700} λ = 2.79946700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90990195466228))-π/2
    2×atan(6.75242672211665)-π/2
    2×1.42377007060027-π/2
    2.84754014120054-1.57079632675     		φ = 1.27674381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79946700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.397644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27674381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.152032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123935 KachelY 25694 2.79946700 1.27674381 160.397644 73.152032
    Oben rechts KachelX + 1 123936 KachelY 25694 2.79951494 1.27674381 160.400391 73.152032
    Unten links KachelX 123935 KachelY + 1 25695 2.79946700 1.27672992 160.397644 73.151236
    Unten rechts KachelX + 1 123936 KachelY + 1 25695 2.79951494 1.27672992 160.400391 73.151236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27674381-1.27672992) × R
    1.38899999999609e-05 × 6371000     		dl = 88.4931899997508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27674381-1.27672992) × R
    1.38899999999609e-05 × 6371000     		dr = 88.4931899997508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79946700-2.79951494) × cos(1.27674381) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.289833165796704 × 6371000     		do = 88.5225091399428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79946700-2.79951494) × cos(1.27672992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.289846459570829 × 6371000     		du = 88.5265694007424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27674381)-sin(1.27672992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289833165796704-0.289846459570829)×R²
    abs(2.79951494-2.79946700)×1.32937741252892e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32937741252892e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32937741252892e-05×40589641000000     		ar = 7833.8188734717m²