Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123933 / 25695
↖ ↑ ↗
← N 73.151236°
E160.392151°		 ← 88.51 m → N 73.151236°
E160.394897°		 →
↑
88.49 m
↓
↑
88.49 m
↓
N 73.150440°
E160.392151°		 ← 88.51 m →
7 833 m²		 N 73.150440°
E160.394897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945537567138672 y=0.196041107177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945537567138672 × 217)
    floor (0.945537567138672 × 131072)
    floor (123933.5)     		tx = 123933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196041107177734 × 217)
    floor (0.196041107177734 × 131072)
    floor (25695.5)     		ty = 25695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123933 / 25695 ti = "17/123933/25695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123933/25695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123933 ÷ 217
    123933 ÷ 131072     		x = 0.945533752441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25695 ÷ 217
    25695 ÷ 131072     		y = 0.196037292480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945533752441406 × 2 - 1) × π
    0.891067504882812 × 3.1415926535     		Λ = 2.79937113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196037292480469 × 2 - 1) × π
    0.607925415039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.90985401776266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79937113} λ = 2.79937113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90985401776266))-π/2
    2×atan(6.75210303947291)-π/2
    2×1.42376312358932-π/2
    2.84752624717864-1.57079632675     		φ = 1.27672992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79937113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.392151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27672992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.151236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123933 KachelY 25695 2.79937113 1.27672992 160.392151 73.151236
    Oben rechts KachelX + 1 123934 KachelY 25695 2.79941906 1.27672992 160.394897 73.151236
    Unten links KachelX 123933 KachelY + 1 25696 2.79937113 1.27671603 160.392151 73.150440
    Unten rechts KachelX + 1 123934 KachelY + 1 25696 2.79941906 1.27671603 160.394897 73.150440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27672992-1.27671603) × R
    1.38899999999609e-05 × 6371000     		dl = 88.4931899997508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27672992-1.27671603) × R
    1.38899999999609e-05 × 6371000     		dr = 88.4931899997508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79937113-2.79941906) × cos(1.27672992) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.289846459570829 × 6371000     		do = 88.5081032829154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79937113-2.79941906) × cos(1.27671603) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.289859753289033 × 6371000     		du = 88.5121626796926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27672992)-sin(1.27671603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289846459570829-0.289859753289033)×R²
    abs(2.79941906-2.79937113)×1.32937182046322e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.32937182046322e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.32937182046322e-05×40589641000000     		ar = 7832.54401487948m²