Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12393 / 20127
↖ ↑ ↗
← S 37.987505°
W 43.846436°		 ← 962.83 m → S 37.987505°
W 43.835449°		 →
↑
962.72 m
↓
↑
962.72 m
↓
S 37.996163°
W 43.846436°		 ← 962.72 m →
926 882 m²		 S 37.996163°
W 43.835449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378219604492188 y=0.614242553710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378219604492188 × 215)
    floor (0.378219604492188 × 32768)
    floor (12393.5)     		tx = 12393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614242553710938 × 215)
    floor (0.614242553710938 × 32768)
    floor (20127.5)     		ty = 20127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12393 / 20127 ti = "15/12393/20127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12393/20127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12393 ÷ 215
    12393 ÷ 32768     		x = 0.378204345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20127 ÷ 215
    20127 ÷ 32768     		y = 0.614227294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378204345703125 × 2 - 1) × π
    -0.24359130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76526467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614227294921875 × 2 - 1) × π
    -0.22845458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.717711261111481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76526467} λ = -0.76526467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.717711261111481))-π/2
    2×atan(0.487867580633869)-π/2
    2×0.453894650460132-π/2
    0.907789300920264-1.57079632675     		φ = -0.66300703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76526467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.846436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66300703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.987505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12393 KachelY 20127 -0.76526467 -0.66300703 -43.846436 -37.987505
    Oben rechts KachelX + 1 12394 KachelY 20127 -0.76507292 -0.66300703 -43.835449 -37.987505
    Unten links KachelX 12393 KachelY + 1 20128 -0.76526467 -0.66315814 -43.846436 -37.996163
    Unten rechts KachelX + 1 12394 KachelY + 1 20128 -0.76507292 -0.66315814 -43.835449 -37.996163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66300703--0.66315814) × R
    0.000151109999999899 × 6371000     		dl = 962.721809999355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66300703--0.66315814) × R
    0.000151109999999899 × 6371000     		dr = 962.721809999355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76526467--0.76507292) × cos(-0.66300703) × R
    0.000191749999999935 × 0.788145001865634 × 6371000     		do = 962.828868970055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76526467--0.76507292) × cos(-0.66315814) × R
    0.000191749999999935 × 0.788051986233167 × 6371000     		du = 962.71523742257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66300703)-sin(-0.66315814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.788145001865634-0.788051986233167)×R²
    abs(-0.76507292--0.76526467)×9.30156324669973e-05×R²
    0.000191749999999935×9.30156324669973e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.30156324669973e-05×40589641000000     		ar = 926881.65543383m²