Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12393 / 20123
↖ ↑ ↗
← S 37.952861°
W 43.846436°		 ← 963.28 m → S 37.952861°
W 43.835449°		 →
↑
963.23 m
↓
↑
963.23 m
↓
S 37.961523°
W 43.846436°		 ← 963.17 m →
927 810 m²		 S 37.961523°
W 43.835449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378219604492188 y=0.614120483398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378219604492188 × 215)
    floor (0.378219604492188 × 32768)
    floor (12393.5)     		tx = 12393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614120483398438 × 215)
    floor (0.614120483398438 × 32768)
    floor (20123.5)     		ty = 20123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12393 / 20123 ti = "15/12393/20123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12393/20123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12393 ÷ 215
    12393 ÷ 32768     		x = 0.378204345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20123 ÷ 215
    20123 ÷ 32768     		y = 0.614105224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378204345703125 × 2 - 1) × π
    -0.24359130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76526467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614105224609375 × 2 - 1) × π
    -0.22821044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.71694427071756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76526467} λ = -0.76526467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.71694427071756))-π/2
    2×atan(0.488241913918387)-π/2
    2×0.454196971618873-π/2
    0.908393943237746-1.57079632675     		φ = -0.66240238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76526467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.846436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66240238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.952861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12393 KachelY 20123 -0.76526467 -0.66240238 -43.846436 -37.952861
    Oben rechts KachelX + 1 12394 KachelY 20123 -0.76507292 -0.66240238 -43.835449 -37.952861
    Unten links KachelX 12393 KachelY + 1 20124 -0.76526467 -0.66255357 -43.846436 -37.961523
    Unten rechts KachelX + 1 12394 KachelY + 1 20124 -0.76507292 -0.66255357 -43.835449 -37.961523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66240238--0.66255357) × R
    0.000151190000000079 × 6371000     		dl = 963.231490000502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66240238--0.66255357) × R
    0.000151190000000079 × 6371000     		dr = 963.231490000502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76526467--0.76507292) × cos(-0.66240238) × R
    0.000191749999999935 × 0.788517013560145 × 6371000     		do = 963.283333057529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76526467--0.76507292) × cos(-0.66255357) × R
    0.000191749999999935 × 0.788424020741612 × 6371000     		du = 963.169729380441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66240238)-sin(-0.66255357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.788517013560145-0.788424020741612)×R²
    abs(-0.76507292--0.76526467)×9.29928185330331e-05×R²
    0.000191749999999935×9.29928185330331e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.29928185330331e-05×40589641000000     		ar = 927810.128641693m²