Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123929 / 25700
↖ ↑ ↗
← N 73.147255°
E160.381165°		 ← 88.55 m → N 73.147255°
E160.383911°		 →
↑
88.56 m
↓
↑
88.56 m
↓
N 73.146459°
E160.381165°		 ← 88.55 m →
7 842 m²		 N 73.146459°
E160.383911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945507049560547 y=0.196079254150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945507049560547 × 217)
    floor (0.945507049560547 × 131072)
    floor (123929.5)     		tx = 123929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196079254150391 × 217)
    floor (0.196079254150391 × 131072)
    floor (25700.5)     		ty = 25700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123929 / 25700 ti = "17/123929/25700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123929/25700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123929 ÷ 217
    123929 ÷ 131072     		x = 0.945503234863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25700 ÷ 217
    25700 ÷ 131072     		y = 0.196075439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945503234863281 × 2 - 1) × π
    0.891006469726562 × 3.1415926535     		Λ = 2.79917938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196075439453125 × 2 - 1) × π
    0.60784912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.90961433326456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79917938} λ = 2.79917938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90961433326456))-π/2
    2×atan(6.75048485897891)-π/2
    2×1.42372838375337-π/2
    2.84745676750674-1.57079632675     		φ = 1.27666044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79917938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.381165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27666044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.147255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123929 KachelY 25700 2.79917938 1.27666044 160.381165 73.147255
    Oben rechts KachelX + 1 123930 KachelY 25700 2.79922732 1.27666044 160.383911 73.147255
    Unten links KachelX 123929 KachelY + 1 25701 2.79917938 1.27664654 160.381165 73.146459
    Unten rechts KachelX + 1 123930 KachelY + 1 25701 2.79922732 1.27664654 160.383911 73.146459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27666044-1.27664654) × R
    1.38999999999001e-05 × 6371000     		dl = 88.5568999993636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27666044-1.27664654) × R
    1.38999999999001e-05 × 6371000     		dr = 88.5568999993636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79917938-2.79922732) × cos(1.27666044) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.289912956314185 × 6371000     		do = 88.5468792177895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79917938-2.79922732) × cos(1.27664654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.289926259323116 × 6371000     		du = 88.5509422991366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27666044)-sin(1.27664654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289912956314185-0.289926259323116)×R²
    abs(2.79922732-2.79917938)×1.33030089317088e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33030089317088e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33030089317088e-05×40589641000000     		ar = 7841.61703511213m²