Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123928 / 26088
↖ ↑ ↗
← N 72.835538°
E160.378418°		 ← 90.14 m → N 72.835538°
E160.381165°		 →
↑
90.15 m
↓
↑
90.15 m
↓
N 72.834727°
E160.378418°		 ← 90.14 m →
8 126 m²		 N 72.834727°
E160.381165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945499420166016 y=0.199039459228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945499420166016 × 217)
    floor (0.945499420166016 × 131072)
    floor (123928.5)     		tx = 123928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.199039459228516 × 217)
    floor (0.199039459228516 × 131072)
    floor (26088.5)     		ty = 26088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123928 / 26088 ti = "17/123928/26088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123928/26088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123928 ÷ 217
    123928 ÷ 131072     		x = 0.94549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26088 ÷ 217
    26088 ÷ 131072     		y = 0.19903564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94549560546875 × 2 - 1) × π
    0.8909912109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.79913144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19903564453125 × 2 - 1) × π
    0.6019287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89101481621198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79913144} λ = 2.79913144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89101481621198))-π/2
    2×atan(6.62608953333178)-π/2
    2×1.42100813716346-π/2
    2.84201627432692-1.57079632675     		φ = 1.27121995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79913144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.378418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27121995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.835538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123928 KachelY 26088 2.79913144 1.27121995 160.378418 72.835538
    Oben rechts KachelX + 1 123929 KachelY 26088 2.79917938 1.27121995 160.381165 72.835538
    Unten links KachelX 123928 KachelY + 1 26089 2.79913144 1.27120580 160.378418 72.834727
    Unten rechts KachelX + 1 123929 KachelY + 1 26089 2.79917938 1.27120580 160.381165 72.834727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27121995-1.27120580) × R
    1.41500000001571e-05 × 6371000     		dl = 90.1496500010008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27121995-1.27120580) × R
    1.41500000001571e-05 × 6371000     		dr = 90.1496500010008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79913144-2.79917938) × cos(1.27121995) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29511547745144 × 6371000     		do = 90.1358630860003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79913144-2.79917938) × cos(1.27120580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295128997203431 × 6371000     		du = 90.1399923662567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27121995)-sin(1.27120580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29511547745144-0.295128997203431)×R²
    abs(2.79917938-2.79913144)×1.35197519908759e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35197519908759e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35197519908759e-05×40589641000000     		ar = 8125.90263645152m²