Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123924 / 25780
↖ ↑ ↗
← N 73.083437°
E160.367432°		 ← 88.85 m → N 73.083437°
E160.370178°		 →
↑
88.88 m
↓
↑
88.88 m
↓
N 73.082637°
E160.367432°		 ← 88.86 m →
7 897 m²		 N 73.082637°
E160.370178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945468902587891 y=0.196689605712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945468902587891 × 217)
    floor (0.945468902587891 × 131072)
    floor (123924.5)     		tx = 123924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196689605712891 × 217)
    floor (0.196689605712891 × 131072)
    floor (25780.5)     		ty = 25780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123924 / 25780 ti = "17/123924/25780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123924/25780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123924 ÷ 217
    123924 ÷ 131072     		x = 0.945465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25780 ÷ 217
    25780 ÷ 131072     		y = 0.196685791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945465087890625 × 2 - 1) × π
    0.89093017578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79893970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196685791015625 × 2 - 1) × π
    0.60662841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.90577938129495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79893970} λ = 2.79893970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90577938129495))-π/2
    2×atan(6.72464664958575)-π/2
    2×1.42317146134038-π/2
    2.84634292268077-1.57079632675     		φ = 1.27554660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79893970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.367432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27554660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.083437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123924 KachelY 25780 2.79893970 1.27554660 160.367432 73.083437
    Oben rechts KachelX + 1 123925 KachelY 25780 2.79898763 1.27554660 160.370178 73.083437
    Unten links KachelX 123924 KachelY + 1 25781 2.79893970 1.27553265 160.367432 73.082637
    Unten rechts KachelX + 1 123925 KachelY + 1 25781 2.79898763 1.27553265 160.370178 73.082637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27554660-1.27553265) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dl = 88.8754500002569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27554660-1.27553265) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dr = 88.8754500002569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79893970-2.79898763) × cos(1.27554660) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290978780187738 × 6371000     		do = 88.8538710051059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79893970-2.79898763) × cos(1.27553265) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290992126536047 × 6371000     		du = 88.8579464731186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27554660)-sin(1.27553265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290978780187738-0.290992126536047)×R²
    abs(2.79898763-2.79893970)×1.33463483090179e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33463483090179e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33463483090179e-05×40589641000000     		ar = 7897.10887449207m²