Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123924 / 25779
↖ ↑ ↗
← N 73.084235°
E160.367432°		 ← 88.85 m → N 73.084235°
E160.370178°		 →
↑
88.81 m
↓
↑
88.81 m
↓
N 73.083437°
E160.367432°		 ← 88.85 m →
7 891 m²		 N 73.083437°
E160.370178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945468902587891 y=0.196681976318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945468902587891 × 217)
    floor (0.945468902587891 × 131072)
    floor (123924.5)     		tx = 123924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196681976318359 × 217)
    floor (0.196681976318359 × 131072)
    floor (25779.5)     		ty = 25779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123924 / 25779 ti = "17/123924/25779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123924/25779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123924 ÷ 217
    123924 ÷ 131072     		x = 0.945465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25779 ÷ 217
    25779 ÷ 131072     		y = 0.196678161621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945465087890625 × 2 - 1) × π
    0.89093017578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79893970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196678161621094 × 2 - 1) × π
    0.606643676757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.90582731819457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79893970} λ = 2.79893970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90582731819457))-π/2
    2×atan(6.72496901602373)-π/2
    2×1.42317843549084-π/2
    2.84635687098168-1.57079632675     		φ = 1.27556054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79893970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.367432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27556054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.084235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123924 KachelY 25779 2.79893970 1.27556054 160.367432 73.084235
    Oben rechts KachelX + 1 123925 KachelY 25779 2.79898763 1.27556054 160.370178 73.084235
    Unten links KachelX 123924 KachelY + 1 25780 2.79893970 1.27554660 160.367432 73.083437
    Unten rechts KachelX + 1 123925 KachelY + 1 25780 2.79898763 1.27554660 160.370178 73.083437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27556054-1.27554660) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dl = 88.8117400006441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27556054-1.27554660) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dr = 88.8117400006441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79893970-2.79898763) × cos(1.27556054) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290965443350139 × 6371000     		do = 88.849798441303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79893970-2.79898763) × cos(1.27554660) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290978780187738 × 6371000     		du = 88.8538710051059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27556054)-sin(1.27554660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290965443350139-0.290978780187738)×R²
    abs(2.79898763-2.79893970)×1.3336837598632e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.3336837598632e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.3336837598632e-05×40589641000000     		ar = 7891.08604427083m²