Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12392 / 20695
↖ ↑ ↗
← S 42.738944°
W 43.857422°		 ← 897.19 m → S 42.738944°
W 43.846436°		 →
↑
897.16 m
↓
↑
897.16 m
↓
S 42.747012°
W 43.857422°		 ← 897.07 m →
804 875 m²		 S 42.747012°
W 43.846436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378189086914062 y=0.631576538085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378189086914062 × 215)
    floor (0.378189086914062 × 32768)
    floor (12392.5)     		tx = 12392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631576538085938 × 215)
    floor (0.631576538085938 × 32768)
    floor (20695.5)     		ty = 20695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12392 / 20695 ti = "15/12392/20695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12392/20695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12392 ÷ 215
    12392 ÷ 32768     		x = 0.378173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20695 ÷ 215
    20695 ÷ 32768     		y = 0.631561279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378173828125 × 2 - 1) × π
    -0.24365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76545641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631561279296875 × 2 - 1) × π
    -0.26312255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.826623897048248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76545641} λ = -0.76545641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826623897048248))-π/2
    2×atan(0.437523921463557)-π/2
    2×0.412430519764195-π/2
    0.824861039528389-1.57079632675     		φ = -0.74593529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76545641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.857422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74593529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.738944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12392 KachelY 20695 -0.76545641 -0.74593529 -43.857422 -42.738944
    Oben rechts KachelX + 1 12393 KachelY 20695 -0.76526467 -0.74593529 -43.846436 -42.738944
    Unten links KachelX 12392 KachelY + 1 20696 -0.76545641 -0.74607611 -43.857422 -42.747012
    Unten rechts KachelX + 1 12393 KachelY + 1 20696 -0.76526467 -0.74607611 -43.846436 -42.747012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74593529--0.74607611) × R
    0.00014081999999993 × 6371000     		dl = 897.164219999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74593529--0.74607611) × R
    0.00014081999999993 × 6371000     		dr = 897.164219999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76545641--0.76526467) × cos(-0.74593529) × R
    0.000191739999999996 × 0.734453480703751 × 6371000     		do = 897.190407295545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76545641--0.76526467) × cos(-0.74607611) × R
    0.000191739999999996 × 0.734357904656667 × 6371000     		du = 897.073653934217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74593529)-sin(-0.74607611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734453480703751-0.734357904656667)×R²
    abs(-0.76526467--0.76545641)×9.55760470844336e-05×R²
    0.000191739999999996×9.55760470844336e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.55760470844336e-05×40589641000000     		ar = 804874.759812932m²