Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123919 / 25782
↖ ↑ ↗
← N 73.081838°
E160.353699°		 ← 88.88 m → N 73.081838°
E160.356445°		 →
↑
88.88 m
↓
↑
88.88 m
↓
N 73.081039°
E160.353699°		 ← 88.88 m →
7 899 m²		 N 73.081039°
E160.356445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945430755615234 y=0.196704864501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945430755615234 × 217)
    floor (0.945430755615234 × 131072)
    floor (123919.5)     		tx = 123919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196704864501953 × 217)
    floor (0.196704864501953 × 131072)
    floor (25782.5)     		ty = 25782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123919 / 25782 ti = "17/123919/25782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123919/25782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123919 ÷ 217
    123919 ÷ 131072     		x = 0.945426940917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25782 ÷ 217
    25782 ÷ 131072     		y = 0.196701049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945426940917969 × 2 - 1) × π
    0.890853881835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.79870001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196701049804688 × 2 - 1) × π
    0.606597900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.90568350749571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79870001} λ = 2.79870001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90568350749571))-π/2
    2×atan(6.72400196306767)-π/2
    2×1.42315751207988-π/2
    2.84631502415976-1.57079632675     		φ = 1.27551870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79870001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.353699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27551870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.081838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123919 KachelY 25782 2.79870001 1.27551870 160.353699 73.081838
    Oben rechts KachelX + 1 123920 KachelY 25782 2.79874795 1.27551870 160.356445 73.081838
    Unten links KachelX 123919 KachelY + 1 25783 2.79870001 1.27550475 160.353699 73.081039
    Unten rechts KachelX + 1 123920 KachelY + 1 25783 2.79874795 1.27550475 160.356445 73.081039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27551870-1.27550475) × R
    1.39499999998183e-05 × 6371000     		dl = 88.8754499988422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27551870-1.27550475) × R
    1.39499999998183e-05 × 6371000     		dr = 88.8754499988422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79870001-2.79874795) × cos(1.27551870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291005472827728 × 6371000     		do = 88.8805618824006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79870001-2.79874795) × cos(1.27550475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291018819062779 × 6371000     		du = 88.8846381661171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27551870)-sin(1.27550475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291005472827728-0.291018819062779)×R²
    abs(2.79874795-2.79870001)×1.33462350506708e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33462350506708e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33462350506708e-05×40589641000000     		ar = 7899.48107434818m²