Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123919 / 25775
↖ ↑ ↗
← N 73.087432°
E160.353699°		 ← 88.85 m → N 73.087432°
E160.356445°		 →
↑
88.81 m
↓
↑
88.81 m
↓
N 73.086633°
E160.353699°		 ← 88.86 m →
7 891 m²		 N 73.086633°
E160.356445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945430755615234 y=0.196651458740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945430755615234 × 217)
    floor (0.945430755615234 × 131072)
    floor (123919.5)     		tx = 123919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196651458740234 × 217)
    floor (0.196651458740234 × 131072)
    floor (25775.5)     		ty = 25775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123919 / 25775 ti = "17/123919/25775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123919/25775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123919 ÷ 217
    123919 ÷ 131072     		x = 0.945426940917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25775 ÷ 217
    25775 ÷ 131072     		y = 0.196647644042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945426940917969 × 2 - 1) × π
    0.890853881835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.79870001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196647644042969 × 2 - 1) × π
    0.606704711914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.90601906579305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79870001} λ = 2.79870001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90601906579305))-π/2
    2×atan(6.72625863631925)-π/2
    2×1.42320632889432-π/2
    2.84641265778864-1.57079632675     		φ = 1.27561633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79870001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.353699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27561633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.087432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123919 KachelY 25775 2.79870001 1.27561633 160.353699 73.087432
    Oben rechts KachelX + 1 123920 KachelY 25775 2.79874795 1.27561633 160.356445 73.087432
    Unten links KachelX 123919 KachelY + 1 25776 2.79870001 1.27560239 160.353699 73.086633
    Unten rechts KachelX + 1 123920 KachelY + 1 25776 2.79874795 1.27560239 160.356445 73.086633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27561633-1.27560239) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dl = 88.8117400006441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27561633-1.27560239) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dr = 88.8117400006441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79870001-2.79874795) × cos(1.27561633) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290912066731863 × 6371000     		do = 88.8520332564503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79870001-2.79874795) × cos(1.27560239) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290925403795733 × 6371000     		du = 88.8561067390524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27561633)-sin(1.27560239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290912066731863-0.290925403795733)×R²
    abs(2.79874795-2.79870001)×1.33370638705776e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33370638705776e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33370638705776e-05×40589641000000     		ar = 7891.28456269263m²