Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123918 / 25774
↖ ↑ ↗
← N 73.088231°
E160.350952°		 ← 88.85 m → N 73.088231°
E160.353699°		 →
↑
88.88 m
↓
↑
88.88 m
↓
N 73.087432°
E160.350952°		 ← 88.85 m →
7 897 m²		 N 73.087432°
E160.353699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945423126220703 y=0.196643829345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945423126220703 × 217)
    floor (0.945423126220703 × 131072)
    floor (123918.5)     		tx = 123918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196643829345703 × 217)
    floor (0.196643829345703 × 131072)
    floor (25774.5)     		ty = 25774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123918 / 25774 ti = "17/123918/25774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123918/25774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123918 ÷ 217
    123918 ÷ 131072     		x = 0.945419311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25774 ÷ 217
    25774 ÷ 131072     		y = 0.196640014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945419311523438 × 2 - 1) × π
    0.890838623046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.79865207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196640014648438 × 2 - 1) × π
    0.606719970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90606700269267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79865207} λ = 2.79865207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90606700269267))-π/2
    2×atan(6.72658108003273)-π/2
    2×1.42321330144567-π/2
    2.84642660289135-1.57079632675     		φ = 1.27563028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79865207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.350952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27563028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.088231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123918 KachelY 25774 2.79865207 1.27563028 160.350952 73.088231
    Oben rechts KachelX + 1 123919 KachelY 25774 2.79870001 1.27563028 160.353699 73.088231
    Unten links KachelX 123918 KachelY + 1 25775 2.79865207 1.27561633 160.350952 73.087432
    Unten rechts KachelX + 1 123919 KachelY + 1 25775 2.79870001 1.27561633 160.353699 73.087432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27563028-1.27561633) × R
    1.39499999998183e-05 × 6371000     		dl = 88.8754499988422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27563028-1.27561633) × R
    1.39499999998183e-05 × 6371000     		dr = 88.8754499988422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79865207-2.79870001) × cos(1.27563028) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290898720043923 × 6371000     		do = 88.8479568344097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79865207-2.79870001) × cos(1.27561633) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290912066731863 × 6371000     		du = 88.8520332564503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27563028)-sin(1.27561633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290898720043923-0.290912066731863)×R²
    abs(2.79870001-2.79865207)×1.33466879398969e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33466879398969e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33466879398969e-05×40589641000000     		ar = 7896.58329233239m²