Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123916 / 25772
↖ ↑ ↗
← N 73.089829°
E160.345459°		 ← 88.84 m → N 73.089829°
E160.348206°		 →
↑
88.81 m
↓
↑
88.81 m
↓
N 73.089030°
E160.345459°		 ← 88.84 m →
7 890 m²		 N 73.089030°
E160.348206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945407867431641 y=0.196628570556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945407867431641 × 217)
    floor (0.945407867431641 × 131072)
    floor (123916.5)     		tx = 123916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196628570556641 × 217)
    floor (0.196628570556641 × 131072)
    floor (25772.5)     		ty = 25772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123916 / 25772 ti = "17/123916/25772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123916/25772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123916 ÷ 217
    123916 ÷ 131072     		x = 0.945404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25772 ÷ 217
    25772 ÷ 131072     		y = 0.196624755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945404052734375 × 2 - 1) × π
    0.89080810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.79855620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196624755859375 × 2 - 1) × π
    0.60675048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90616287649191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79855620} λ = 2.79855620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90616287649191))-π/2
    2×atan(6.72722601383241)-π/2
    2×1.42322724558905-π/2
    2.84645449117811-1.57079632675     		φ = 1.27565816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79855620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.345459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27565816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.089829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123916 KachelY 25772 2.79855620 1.27565816 160.345459 73.089829
    Oben rechts KachelX + 1 123917 KachelY 25772 2.79860414 1.27565816 160.348206 73.089829
    Unten links KachelX 123916 KachelY + 1 25773 2.79855620 1.27564422 160.345459 73.089030
    Unten rechts KachelX + 1 123917 KachelY + 1 25773 2.79860414 1.27564422 160.348206 73.089030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27565816-1.27564422) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dl = 88.8117400006441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27565816-1.27564422) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dr = 88.8117400006441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79855620-2.79860414) × cos(1.27565816) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290872045633456 × 6371000     		do = 88.8398097828537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79855620-2.79860414) × cos(1.27564422) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290885382866952 × 6371000     		du = 88.843883317264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27565816)-sin(1.27564422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290872045633456-0.290885382866952)×R²
    abs(2.79860414-2.79855620)×1.33372334966131e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33372334966131e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33372334966131e-05×40589641000000     		ar = 7890.19897698648m²