Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123915 / 25802
↖ ↑ ↗
← N 73.065845°
E160.342712°		 ← 88.96 m → N 73.065845°
E160.345459°		 →
↑
88.94 m
↓
↑
88.94 m
↓
N 73.065045°
E160.342712°		 ← 88.97 m →
7 912 m²		 N 73.065045°
E160.345459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945400238037109 y=0.196857452392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945400238037109 × 217)
    floor (0.945400238037109 × 131072)
    floor (123915.5)     		tx = 123915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196857452392578 × 217)
    floor (0.196857452392578 × 131072)
    floor (25802.5)     		ty = 25802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123915 / 25802 ti = "17/123915/25802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123915/25802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123915 ÷ 217
    123915 ÷ 131072     		x = 0.945396423339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25802 ÷ 217
    25802 ÷ 131072     		y = 0.196853637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945396423339844 × 2 - 1) × π
    0.890792846679688 × 3.1415926535     		Λ = 2.79850826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196853637695312 × 2 - 1) × π
    0.606292724609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.90472476950331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79850826} λ = 2.79850826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90472476950331))-π/2
    2×atan(6.71755849621649)-π/2
    2×1.42301794908213-π/2
    2.84603589816425-1.57079632675     		φ = 1.27523957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79850826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.342712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27523957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.065845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123915 KachelY 25802 2.79850826 1.27523957 160.342712 73.065845
    Oben rechts KachelX + 1 123916 KachelY 25802 2.79855620 1.27523957 160.345459 73.065845
    Unten links KachelX 123915 KachelY + 1 25803 2.79850826 1.27522561 160.342712 73.065045
    Unten rechts KachelX + 1 123916 KachelY + 1 25803 2.79855620 1.27522561 160.345459 73.065045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27523957-1.27522561) × R
    1.39600000002016e-05 × 6371000     		dl = 88.9391600012843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27523957-1.27522561) × R
    1.39600000002016e-05 × 6371000     		dr = 88.9391600012843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79850826-2.79855620) × cos(1.27523957) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291272511128734 × 6371000     		do = 88.9621222530935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79850826-2.79855620) × cos(1.27522561) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291285865796464 × 6371000     		du = 88.9662011123674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27523957)-sin(1.27522561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291272511128734-0.291285865796464)×R²
    abs(2.79855620-2.79850826)×1.33546677301144e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33546677301144e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33546677301144e-05×40589641000000     		ar = 7912.39781042187m²