Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123915 / 25777
↖ ↑ ↗
← N 73.085834°
E160.342712°		 ← 88.86 m → N 73.085834°
E160.345459°		 →
↑
88.88 m
↓
↑
88.88 m
↓
N 73.085035°
E160.342712°		 ← 88.86 m →
7 898 m²		 N 73.085035°
E160.345459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945400238037109 y=0.196666717529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945400238037109 × 217)
    floor (0.945400238037109 × 131072)
    floor (123915.5)     		tx = 123915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196666717529297 × 217)
    floor (0.196666717529297 × 131072)
    floor (25777.5)     		ty = 25777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123915 / 25777 ti = "17/123915/25777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123915/25777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123915 ÷ 217
    123915 ÷ 131072     		x = 0.945396423339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25777 ÷ 217
    25777 ÷ 131072     		y = 0.196662902832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945396423339844 × 2 - 1) × π
    0.890792846679688 × 3.1415926535     		Λ = 2.79850826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196662902832031 × 2 - 1) × π
    0.606674194335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.90592319199381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79850826} λ = 2.79850826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90592319199381))-π/2
    2×atan(6.72561379526129)-π/2
    2×1.42319238283222-π/2
    2.84638476566444-1.57079632675     		φ = 1.27558844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79850826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.342712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27558844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.085834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123915 KachelY 25777 2.79850826 1.27558844 160.342712 73.085834
    Oben rechts KachelX + 1 123916 KachelY 25777 2.79855620 1.27558844 160.345459 73.085834
    Unten links KachelX 123915 KachelY + 1 25778 2.79850826 1.27557449 160.342712 73.085035
    Unten rechts KachelX + 1 123916 KachelY + 1 25778 2.79855620 1.27557449 160.345459 73.085035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27558844-1.27557449) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dl = 88.8754500002569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27558844-1.27557449) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dr = 88.8754500002569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79850826-2.79855620) × cos(1.27558844) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290938750370487 × 6371000     		do = 88.860183126523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79850826-2.79855620) × cos(1.27557449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290952096888623 × 6371000     		du = 88.8642594967012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27558844)-sin(1.27557449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290938750370487-0.290952096888623)×R²
    abs(2.79855620-2.79850826)×1.33465181362258e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33465181362258e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33465181362258e-05×40589641000000     		ar = 7897.66990722775m²