Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123914 / 25778
↖ ↑ ↗
← N 73.085035°
E160.339966°		 ← 88.85 m → N 73.085035°
E160.342712°		 →
↑
88.88 m
↓
↑
88.88 m
↓
N 73.084235°
E160.339966°		 ← 88.85 m →
7 896 m²		 N 73.084235°
E160.342712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945392608642578 y=0.196674346923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945392608642578 × 217)
    floor (0.945392608642578 × 131072)
    floor (123914.5)     		tx = 123914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196674346923828 × 217)
    floor (0.196674346923828 × 131072)
    floor (25778.5)     		ty = 25778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123914 / 25778 ti = "17/123914/25778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123914/25778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123914 ÷ 217
    123914 ÷ 131072     		x = 0.945388793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25778 ÷ 217
    25778 ÷ 131072     		y = 0.196670532226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945388793945312 × 2 - 1) × π
    0.890777587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.79846033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196670532226562 × 2 - 1) × π
    0.606658935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.90587525509419
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79846033} λ = 2.79846033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90587525509419))-π/2
    2×atan(6.72529139791533)-π/2
    2×1.42318540932145-π/2
    2.84637081864289-1.57079632675     		φ = 1.27557449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79846033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.339966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27557449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.085035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123914 KachelY 25778 2.79846033 1.27557449 160.339966 73.085035
    Oben rechts KachelX + 1 123915 KachelY 25778 2.79850826 1.27557449 160.342712 73.085035
    Unten links KachelX 123914 KachelY + 1 25779 2.79846033 1.27556054 160.339966 73.084235
    Unten rechts KachelX + 1 123915 KachelY + 1 25779 2.79850826 1.27556054 160.342712 73.084235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27557449-1.27556054) × R
    1.39499999998183e-05 × 6371000     		dl = 88.8754499988422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27557449-1.27556054) × R
    1.39499999998183e-05 × 6371000     		dr = 88.8754499988422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79846033-2.79850826) × cos(1.27557449) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290952096888623 × 6371000     		do = 88.8457229387211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79846033-2.79850826) × cos(1.27556054) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290965443350139 × 6371000     		du = 88.849798441303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27557449)-sin(1.27556054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290952096888623-0.290965443350139)×R²
    abs(2.79850826-2.79846033)×1.33464615160728e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33464615160728e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33464615160728e-05×40589641000000     		ar = 7896.38471272078m²