Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123913 / 25809
↖ ↑ ↗
← N 73.060245°
E160.337219°		 ← 88.99 m → N 73.060245°
E160.339966°		 →
↑
89 m
↓
↑
89 m
↓
N 73.059444°
E160.337219°		 ← 88.99 m →
7 921 m²		 N 73.059444°
E160.339966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945384979248047 y=0.196910858154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945384979248047 × 217)
    floor (0.945384979248047 × 131072)
    floor (123913.5)     		tx = 123913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196910858154297 × 217)
    floor (0.196910858154297 × 131072)
    floor (25809.5)     		ty = 25809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123913 / 25809 ti = "17/123913/25809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123913/25809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123913 ÷ 217
    123913 ÷ 131072     		x = 0.945381164550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25809 ÷ 217
    25809 ÷ 131072     		y = 0.196907043457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945381164550781 × 2 - 1) × π
    0.890762329101562 × 3.1415926535     		Λ = 2.79841239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196907043457031 × 2 - 1) × π
    0.606185913085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.90438921120597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79841239} λ = 2.79841239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90438921120597))-π/2
    2×atan(6.71530474187935)-π/2
    2×1.42296907178388-π/2
    2.84593814356776-1.57079632675     		φ = 1.27514182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79841239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.337219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27514182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.060245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123913 KachelY 25809 2.79841239 1.27514182 160.337219 73.060245
    Oben rechts KachelX + 1 123914 KachelY 25809 2.79846033 1.27514182 160.339966 73.060245
    Unten links KachelX 123913 KachelY + 1 25810 2.79841239 1.27512785 160.337219 73.059444
    Unten rechts KachelX + 1 123914 KachelY + 1 25810 2.79846033 1.27512785 160.339966 73.059444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27514182-1.27512785) × R
    1.39699999999188e-05 × 6371000     		dl = 89.0028699994825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27514182-1.27512785) × R
    1.39699999999188e-05 × 6371000     		dr = 89.0028699994825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79841239-2.79846033) × cos(1.27514182) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291366021309011 × 6371000     		do = 88.990682669102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79841239-2.79846033) × cos(1.27512785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291379385145276 × 6371000     		du = 88.9947643286825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27514182)-sin(1.27512785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291366021309011-0.291379385145276)×R²
    abs(2.79846033-2.79841239)×1.33638362651567e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33638362651567e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33638362651567e-05×40589641000000     		ar = 7920.60780048097m²