Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123913 / 25770
↖ ↑ ↗
← N 73.091427°
E160.337219°		 ← 88.83 m → N 73.091427°
E160.339966°		 →
↑
88.81 m
↓
↑
88.81 m
↓
N 73.090628°
E160.337219°		 ← 88.84 m →
7 889 m²		 N 73.090628°
E160.339966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945384979248047 y=0.196613311767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945384979248047 × 217)
    floor (0.945384979248047 × 131072)
    floor (123913.5)     		tx = 123913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196613311767578 × 217)
    floor (0.196613311767578 × 131072)
    floor (25770.5)     		ty = 25770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123913 / 25770 ti = "17/123913/25770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123913/25770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123913 ÷ 217
    123913 ÷ 131072     		x = 0.945381164550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25770 ÷ 217
    25770 ÷ 131072     		y = 0.196609497070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945381164550781 × 2 - 1) × π
    0.890762329101562 × 3.1415926535     		Λ = 2.79841239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196609497070312 × 2 - 1) × π
    0.606781005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.90625875029115
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79841239} λ = 2.79841239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90625875029115))-π/2
    2×atan(6.7278710094673)-π/2
    2×1.42324118845342-π/2
    2.84648237690683-1.57079632675     		φ = 1.27568605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79841239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.337219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27568605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.091427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123913 KachelY 25770 2.79841239 1.27568605 160.337219 73.091427
    Oben rechts KachelX + 1 123914 KachelY 25770 2.79846033 1.27568605 160.339966 73.091427
    Unten links KachelX 123913 KachelY + 1 25771 2.79841239 1.27567211 160.337219 73.090628
    Unten rechts KachelX + 1 123914 KachelY + 1 25771 2.79846033 1.27567211 160.339966 73.090628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27568605-1.27567211) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dl = 88.8117400006441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27568605-1.27567211) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dr = 88.8117400006441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79841239-2.79846033) × cos(1.27568605) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290845361429195 × 6371000     		do = 88.831659740021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79841239-2.79846033) × cos(1.27567211) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290858698775776 × 6371000     		du = 88.8357333089702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27568605)-sin(1.27567211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290845361429195-0.290858698775776)×R²
    abs(2.79846033-2.79841239)×1.33373465811548e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33373465811548e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33373465811548e-05×40589641000000     		ar = 7889.47515906327m²