Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123912 / 25766
↖ ↑ ↗
← N 73.094621°
E160.334473°		 ← 88.82 m → N 73.094621°
E160.337219°		 →
↑
88.81 m
↓
↑
88.81 m
↓
N 73.093823°
E160.334473°		 ← 88.82 m →
7 888 m²		 N 73.093823°
E160.337219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945377349853516 y=0.196582794189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945377349853516 × 217)
    floor (0.945377349853516 × 131072)
    floor (123912.5)     		tx = 123912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196582794189453 × 217)
    floor (0.196582794189453 × 131072)
    floor (25766.5)     		ty = 25766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123912 / 25766 ti = "17/123912/25766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123912/25766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123912 ÷ 217
    123912 ÷ 131072     		x = 0.94537353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25766 ÷ 217
    25766 ÷ 131072     		y = 0.196578979492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94537353515625 × 2 - 1) × π
    0.8907470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79836445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196578979492188 × 2 - 1) × π
    0.606842041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.90645049788963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79836445} λ = 2.79836445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90645049788963))-π/2
    2×atan(6.72916118626645)-π/2
    2×1.42326907034552-π/2
    2.84653814069104-1.57079632675     		φ = 1.27574181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79836445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.334473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27574181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.094621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123912 KachelY 25766 2.79836445 1.27574181 160.334473 73.094621
    Oben rechts KachelX + 1 123913 KachelY 25766 2.79841239 1.27574181 160.337219 73.094621
    Unten links KachelX 123912 KachelY + 1 25767 2.79836445 1.27572787 160.334473 73.093823
    Unten rechts KachelX + 1 123913 KachelY + 1 25767 2.79841239 1.27572787 160.337219 73.093823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27574181-1.27572787) × R
    1.3939999999879e-05 × 6371000     		dl = 88.8117399992294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27574181-1.27572787) × R
    1.3939999999879e-05 × 6371000     		dr = 88.8117399992294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79836445-2.79841239) × cos(1.27574181) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.290792011477715 × 6371000     		do = 88.8153652924342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79836445-2.79841239) × cos(1.27572787) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.290805349050353 × 6371000     		du = 88.8194389304269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27574181)-sin(1.27572787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290792011477715-0.290805349050353)×R²
    abs(2.79841239-2.79836445)×1.33375726378282e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.33375726378282e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.33375726378282e-05×40589641000000     		ar = 7888.02802384227m²