Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12391 / 20105
↖ ↑ ↗
← S 37.796763°
W 43.868408°		 ← 965.33 m → S 37.796763°
W 43.857422°		 →
↑
965.27 m
↓
↑
965.27 m
↓
S 37.805444°
W 43.868408°		 ← 965.21 m →
931 746 m²		 S 37.805444°
W 43.857422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378158569335938 y=0.613571166992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378158569335938 × 215)
    floor (0.378158569335938 × 32768)
    floor (12391.5)     		tx = 12391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613571166992188 × 215)
    floor (0.613571166992188 × 32768)
    floor (20105.5)     		ty = 20105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12391 / 20105 ti = "15/12391/20105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12391/20105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12391 ÷ 215
    12391 ÷ 32768     		x = 0.378143310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20105 ÷ 215
    20105 ÷ 32768     		y = 0.613555908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378143310546875 × 2 - 1) × π
    -0.24371337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76564816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613555908203125 × 2 - 1) × π
    -0.22711181640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.713492813944916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76564816} λ = -0.76564816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.713492813944916))-π/2
    2×atan(0.489929971231536)-π/2
    2×0.455559181389461-π/2
    0.911118362778922-1.57079632675     		φ = -0.65967796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76564816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.868408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65967796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.796763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12391 KachelY 20105 -0.76564816 -0.65967796 -43.868408 -37.796763
    Oben rechts KachelX + 1 12392 KachelY 20105 -0.76545641 -0.65967796 -43.857422 -37.796763
    Unten links KachelX 12391 KachelY + 1 20106 -0.76564816 -0.65982947 -43.868408 -37.805444
    Unten rechts KachelX + 1 12392 KachelY + 1 20106 -0.76545641 -0.65982947 -43.857422 -37.805444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65967796--0.65982947) × R
    0.000151510000000021 × 6371000     		dl = 965.270210000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65967796--0.65982947) × R
    0.000151510000000021 × 6371000     		dr = 965.270210000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76564816--0.76545641) × cos(-0.65967796) × R
    0.000191750000000046 × 0.790189638680009 × 6371000     		do = 965.326677555049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76564816--0.76545641) × cos(-0.65982947) × R
    0.000191750000000046 × 0.790096774826948 × 6371000     		du = 965.213231427244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65967796)-sin(-0.65982947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.790189638680009-0.790096774826948)×R²
    abs(-0.76545641--0.76564816)×9.28638530607317e-05×R²
    0.000191750000000046×9.28638530607317e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.28638530607317e-05×40589641000000     		ar = 931746.333460266m²