Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123909 / 25765
↖ ↑ ↗
← N 73.095420°
E160.326233°		 ← 88.81 m → N 73.095420°
E160.328980°		 →
↑
88.81 m
↓
↑
88.81 m
↓
N 73.094621°
E160.326233°		 ← 88.82 m →
7 888 m²		 N 73.094621°
E160.328980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945354461669922 y=0.196575164794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945354461669922 × 217)
    floor (0.945354461669922 × 131072)
    floor (123909.5)     		tx = 123909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196575164794922 × 217)
    floor (0.196575164794922 × 131072)
    floor (25765.5)     		ty = 25765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123909 / 25765 ti = "17/123909/25765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123909/25765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123909 ÷ 217
    123909 ÷ 131072     		x = 0.945350646972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25765 ÷ 217
    25765 ÷ 131072     		y = 0.196571350097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945350646972656 × 2 - 1) × π
    0.890701293945312 × 3.1415926535     		Λ = 2.79822064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196571350097656 × 2 - 1) × π
    0.606857299804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.90649843478925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79822064} λ = 2.79822064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90649843478925))-π/2
    2×atan(6.72948376912251)-π/2
    2×1.42327604001933-π/2
    2.84655208003866-1.57079632675     		φ = 1.27575575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79822064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.326233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27575575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.095420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123909 KachelY 25765 2.79822064 1.27575575 160.326233 73.095420
    Oben rechts KachelX + 1 123910 KachelY 25765 2.79826858 1.27575575 160.328980 73.095420
    Unten links KachelX 123909 KachelY + 1 25766 2.79822064 1.27574181 160.326233 73.094621
    Unten rechts KachelX + 1 123910 KachelY + 1 25766 2.79826858 1.27574181 160.328980 73.094621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27575575-1.27574181) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dl = 88.8117400006441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27575575-1.27574181) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dr = 88.8117400006441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79822064-2.79826858) × cos(1.27575575) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290778673848569 × 6371000     		do = 88.8112916363597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79822064-2.79826858) × cos(1.27574181) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290792011477715 × 6371000     		du = 88.8153652916115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27575575)-sin(1.27574181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290778673848569-0.290792011477715)×R²
    abs(2.79826858-2.79822064)×1.33376291458487e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33376291458487e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33376291458487e-05×40589641000000     		ar = 7887.6662363271m²