Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123908 / 25748
↖ ↑ ↗
← N 73.108992°
E160.323486°		 ← 88.74 m → N 73.108992°
E160.326233°		 →
↑
88.68 m
↓
↑
88.68 m
↓
N 73.108194°
E160.323486°		 ← 88.75 m →
7 870 m²		 N 73.108194°
E160.326233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945346832275391 y=0.196445465087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945346832275391 × 217)
    floor (0.945346832275391 × 131072)
    floor (123908.5)     		tx = 123908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196445465087891 × 217)
    floor (0.196445465087891 × 131072)
    floor (25748.5)     		ty = 25748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123908 / 25748 ti = "17/123908/25748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123908/25748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123908 ÷ 217
    123908 ÷ 131072     		x = 0.945343017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25748 ÷ 217
    25748 ÷ 131072     		y = 0.196441650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945343017578125 × 2 - 1) × π
    0.89068603515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.79817270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196441650390625 × 2 - 1) × π
    0.60711669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.90731336208279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79817270} λ = 2.79817270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90731336208279))-π/2
    2×atan(6.73497004427146)-π/2
    2×1.42339447557684-π/2
    2.84678895115368-1.57079632675     		φ = 1.27599262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79817270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.323486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27599262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.108992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123908 KachelY 25748 2.79817270 1.27599262 160.323486 73.108992
    Oben rechts KachelX + 1 123909 KachelY 25748 2.79822064 1.27599262 160.326233 73.108992
    Unten links KachelX 123908 KachelY + 1 25749 2.79817270 1.27597870 160.323486 73.108194
    Unten rechts KachelX + 1 123909 KachelY + 1 25749 2.79822064 1.27597870 160.326233 73.108194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27599262-1.27597870) × R
    1.39200000000006e-05 × 6371000     		dl = 88.6843200000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27599262-1.27597870) × R
    1.39200000000006e-05 × 6371000     		dr = 88.6843200000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79817270-2.79822064) × cos(1.27599262) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290552030764431 × 6371000     		do = 88.7420690046709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79817270-2.79822064) × cos(1.27597870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290565350216264 × 6371000     		du = 88.7461371081033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27599262)-sin(1.27597870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290552030764431-0.290565350216264)×R²
    abs(2.79822064-2.79817270)×1.3319451832472e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3319451832472e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3319451832472e-05×40589641000000     		ar = 7870.21043365872m²