Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123907 / 25761
↖ ↑ ↗
← N 73.098614°
E160.320740°		 ← 88.78 m → N 73.098614°
E160.323486°		 →
↑
88.75 m
↓
↑
88.75 m
↓
N 73.097816°
E160.320740°		 ← 88.78 m →
7 879 m²		 N 73.097816°
E160.323486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945339202880859 y=0.196544647216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945339202880859 × 217)
    floor (0.945339202880859 × 131072)
    floor (123907.5)     		tx = 123907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196544647216797 × 217)
    floor (0.196544647216797 × 131072)
    floor (25761.5)     		ty = 25761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123907 / 25761 ti = "17/123907/25761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123907/25761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123907 ÷ 217
    123907 ÷ 131072     		x = 0.945335388183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25761 ÷ 217
    25761 ÷ 131072     		y = 0.196540832519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945335388183594 × 2 - 1) × π
    0.890670776367188 × 3.1415926535     		Λ = 2.79812477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196540832519531 × 2 - 1) × π
    0.606918334960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.90669018238773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79812477} λ = 2.79812477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90669018238773))-π/2
    2×atan(6.7307742551941)-π/2
    2×1.42330391551809-π/2
    2.84660783103618-1.57079632675     		φ = 1.27581150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79812477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.320740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27581150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.098614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123907 KachelY 25761 2.79812477 1.27581150 160.320740 73.098614
    Oben rechts KachelX + 1 123908 KachelY 25761 2.79817270 1.27581150 160.323486 73.098614
    Unten links KachelX 123907 KachelY + 1 25762 2.79812477 1.27579757 160.320740 73.097816
    Unten rechts KachelX + 1 123908 KachelY + 1 25762 2.79817270 1.27579757 160.323486 73.097816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27581150-1.27579757) × R
    1.39300000001619e-05 × 6371000     		dl = 88.7480300010313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27581150-1.27579757) × R
    1.39300000001619e-05 × 6371000     		dr = 88.7480300010313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79812477-2.79817270) × cos(1.27581150) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290725332335026 × 6371000     		do = 88.7764776543027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79812477-2.79817270) × cos(1.27579757) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290738660622112 × 6371000     		du = 88.7805476071035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27581150)-sin(1.27579757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290725332335026-0.290738660622112)×R²
    abs(2.79817270-2.79812477)×1.33282870854456e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33282870854456e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33282870854456e-05×40589641000000     		ar = 7878.91810260416m²