Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123904 / 25742
↖ ↑ ↗
← N 73.113779°
E160.312500°		 ← 88.70 m → N 73.113779°
E160.315246°		 →
↑
88.68 m
↓
↑
88.68 m
↓
N 73.112982°
E160.312500°		 ← 88.70 m →
7 866 m²		 N 73.112982°
E160.315246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945316314697266 y=0.196399688720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945316314697266 × 217)
    floor (0.945316314697266 × 131072)
    floor (123904.5)     		tx = 123904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196399688720703 × 217)
    floor (0.196399688720703 × 131072)
    floor (25742.5)     		ty = 25742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123904 / 25742 ti = "17/123904/25742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123904/25742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123904 ÷ 217
    123904 ÷ 131072     		x = 0.9453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25742 ÷ 217
    25742 ÷ 131072     		y = 0.196395874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9453125 × 2 - 1) × π
    0.890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.79798096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196395874023438 × 2 - 1) × π
    0.607208251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90760098348051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79798096} λ = 2.79798096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90760098348051))-π/2
    2×atan(6.73690744437471)-π/2
    2×1.4234362543175-π/2
    2.846872508635-1.57079632675     		φ = 1.27607618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79798096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27607618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.113779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123904 KachelY 25742 2.79798096 1.27607618 160.312500 73.113779
    Oben rechts KachelX + 1 123905 KachelY 25742 2.79802889 1.27607618 160.315246 73.113779
    Unten links KachelX 123904 KachelY + 1 25743 2.79798096 1.27606226 160.312500 73.112982
    Unten rechts KachelX + 1 123905 KachelY + 1 25743 2.79802889 1.27606226 160.315246 73.112982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27607618-1.27606226) × R
    1.39200000000006e-05 × 6371000     		dl = 88.6843200000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27607618-1.27606226) × R
    1.39200000000006e-05 × 6371000     		dr = 88.6843200000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79798096-2.79802889) × cos(1.27607618) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290472074595905 × 6371000     		do = 88.6991423569711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79798096-2.79802889) × cos(1.27606226) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290485394385655 × 6371000     		du = 88.7032097150086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27607618)-sin(1.27606226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290472074595905-0.290485394385655)×R²
    abs(2.79802889-2.79798096)×1.33197897508319e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33197897508319e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33197897508319e-05×40589641000000     		ar = 7866.40348011134m²