Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123903 / 25733
↖ ↑ ↗
← N 73.120958°
E160.309753°		 ← 88.68 m → N 73.120958°
E160.312500°		 →
↑
88.62 m
↓
↑
88.62 m
↓
N 73.120161°
E160.309753°		 ← 88.69 m →
7 859 m²		 N 73.120161°
E160.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945308685302734 y=0.196331024169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945308685302734 × 217)
    floor (0.945308685302734 × 131072)
    floor (123903.5)     		tx = 123903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196331024169922 × 217)
    floor (0.196331024169922 × 131072)
    floor (25733.5)     		ty = 25733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123903 / 25733 ti = "17/123903/25733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123903/25733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123903 ÷ 217
    123903 ÷ 131072     		x = 0.945304870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25733 ÷ 217
    25733 ÷ 131072     		y = 0.196327209472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945304870605469 × 2 - 1) × π
    0.890609741210938 × 3.1415926535     		Λ = 2.79793302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196327209472656 × 2 - 1) × π
    0.607345581054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.9080324155771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79793302} λ = 2.79793302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9080324155771))-π/2
    2×atan(6.73981458955068)-π/2
    2×1.42349890087294-π/2
    2.84699780174588-1.57079632675     		φ = 1.27620147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79793302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.309753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27620147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.120958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123903 KachelY 25733 2.79793302 1.27620147 160.309753 73.120958
    Oben rechts KachelX + 1 123904 KachelY 25733 2.79798096 1.27620147 160.312500 73.120958
    Unten links KachelX 123903 KachelY + 1 25734 2.79793302 1.27618756 160.309753 73.120161
    Unten rechts KachelX + 1 123904 KachelY + 1 25734 2.79798096 1.27618756 160.312500 73.120161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27620147-1.27618756) × R
    1.39099999998393e-05 × 6371000     		dl = 88.6206099989764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27620147-1.27618756) × R
    1.39099999998393e-05 × 6371000     		dr = 88.6206099989764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79793302-2.79798096) × cos(1.27620147) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290352184386491 × 6371000     		do = 88.6810307768022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79793302-2.79798096) × cos(1.27618756) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290365495113584 × 6371000     		du = 88.6850962154747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27620147)-sin(1.27618756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290352184386491-0.290365495113584)×R²
    abs(2.79798096-2.79793302)×1.33107270935406e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33107270935406e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33107270935406e-05×40589641000000     		ar = 7859.14718373852m²