Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123901 / 25758
↖ ↑ ↗
← N 73.101010°
E160.304260°		 ← 88.76 m → N 73.101010°
E160.307007°		 →
↑
88.75 m
↓
↑
88.75 m
↓
N 73.100212°
E160.304260°		 ← 88.77 m →
7 878 m²		 N 73.100212°
E160.307007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945293426513672 y=0.196521759033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945293426513672 × 217)
    floor (0.945293426513672 × 131072)
    floor (123901.5)     		tx = 123901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196521759033203 × 217)
    floor (0.196521759033203 × 131072)
    floor (25758.5)     		ty = 25758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123901 / 25758 ti = "17/123901/25758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123901/25758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123901 ÷ 217
    123901 ÷ 131072     		x = 0.945289611816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25758 ÷ 217
    25758 ÷ 131072     		y = 0.196517944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945289611816406 × 2 - 1) × π
    0.890579223632812 × 3.1415926535     		Λ = 2.79783715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196517944335938 × 2 - 1) × π
    0.606964111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90683399308659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79783715} λ = 2.79783715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90683399308659))-π/2
    2×atan(6.73174228214825)-π/2
    2×1.42332481878623-π/2
    2.84664963757246-1.57079632675     		φ = 1.27585331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79783715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.304260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27585331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.101010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123901 KachelY 25758 2.79783715 1.27585331 160.304260 73.101010
    Oben rechts KachelX + 1 123902 KachelY 25758 2.79788508 1.27585331 160.307007 73.101010
    Unten links KachelX 123901 KachelY + 1 25759 2.79783715 1.27583938 160.304260 73.100212
    Unten rechts KachelX + 1 123902 KachelY + 1 25759 2.79788508 1.27583938 160.307007 73.100212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27585331-1.27583938) × R
    1.39299999999398e-05 × 6371000     		dl = 88.7480299996166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27585331-1.27583938) × R
    1.39299999999398e-05 × 6371000     		dr = 88.7480299996166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79783715-2.79788508) × cos(1.27585331) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290685327998924 × 6371000     		do = 88.7642618490217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79783715-2.79788508) × cos(1.27583938) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290698656455324 × 6371000     		du = 88.7683318535247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27585331)-sin(1.27583938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290685327998924-0.290698656455324)×R²
    abs(2.79788508-2.79783715)×1.33284563997305e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33284563997305e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33284563997305e-05×40589641000000     		ar = 7877.83397599748m²