Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123900 / 25757
↖ ↑ ↗
← N 73.101809°
E160.301514°		 ← 88.78 m → N 73.101809°
E160.304260°		 →
↑
88.81 m
↓
↑
88.81 m
↓
N 73.101010°
E160.301514°		 ← 88.78 m →
7 885 m²		 N 73.101010°
E160.304260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945285797119141 y=0.196514129638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945285797119141 × 217)
    floor (0.945285797119141 × 131072)
    floor (123900.5)     		tx = 123900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196514129638672 × 217)
    floor (0.196514129638672 × 131072)
    floor (25757.5)     		ty = 25757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123900 / 25757 ti = "17/123900/25757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123900/25757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123900 ÷ 217
    123900 ÷ 131072     		x = 0.945281982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25757 ÷ 217
    25757 ÷ 131072     		y = 0.196510314941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945281982421875 × 2 - 1) × π
    0.89056396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.79778921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196510314941406 × 2 - 1) × π
    0.606979370117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.90688192998621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79778921} λ = 2.79778921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90688192998621))-π/2
    2×atan(6.73206498873702)-π/2
    2×1.42333178590313-π/2
    2.84666357180626-1.57079632675     		φ = 1.27586725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79778921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.301514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27586725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.101809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123900 KachelY 25757 2.79778921 1.27586725 160.301514 73.101809
    Oben rechts KachelX + 1 123901 KachelY 25757 2.79783715 1.27586725 160.304260 73.101809
    Unten links KachelX 123900 KachelY + 1 25758 2.79778921 1.27585331 160.301514 73.101010
    Unten rechts KachelX + 1 123901 KachelY + 1 25758 2.79783715 1.27585331 160.304260 73.101010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27586725-1.27585331) × R
    1.3939999999879e-05 × 6371000     		dl = 88.8117399992294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27586725-1.27585331) × R
    1.3939999999879e-05 × 6371000     		dr = 88.8117399992294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79778921-2.79783715) × cos(1.27586725) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290671989917891 × 6371000     		do = 88.7787076178862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79778921-2.79783715) × cos(1.27585331) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290685327998924 × 6371000     		du = 88.782781411156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27586725)-sin(1.27585331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290671989917891-0.290685327998924)×R²
    abs(2.79783715-2.79778921)×1.33380810332651e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33380810332651e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33380810332651e-05×40589641000000     		ar = 7884.77239888849m²