Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12390 / 20129
↖ ↑ ↗
← S 38.004820°
W 43.879395°		 ← 962.60 m → S 38.004820°
W 43.868408°		 →
↑
962.53 m
↓
↑
962.53 m
↓
S 38.013476°
W 43.879395°		 ← 962.49 m →
926 479 m²		 S 38.013476°
W 43.868408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378128051757812 y=0.614303588867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378128051757812 × 215)
    floor (0.378128051757812 × 32768)
    floor (12390.5)     		tx = 12390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614303588867188 × 215)
    floor (0.614303588867188 × 32768)
    floor (20129.5)     		ty = 20129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12390 / 20129 ti = "15/12390/20129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12390/20129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12390 ÷ 215
    12390 ÷ 32768     		x = 0.37811279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20129 ÷ 215
    20129 ÷ 32768     		y = 0.614288330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37811279296875 × 2 - 1) × π
    -0.2437744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76583991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614288330078125 × 2 - 1) × π
    -0.22857666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.718094756308441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76583991} λ = -0.76583991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.718094756308441))-π/2
    2×atan(0.487680521630351)-π/2
    2×0.453743543384739-π/2
    0.907487086769478-1.57079632675     		φ = -0.66330924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76583991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.879395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66330924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.004820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12390 KachelY 20129 -0.76583991 -0.66330924 -43.879395 -38.004820
    Oben rechts KachelX + 1 12391 KachelY 20129 -0.76564816 -0.66330924 -43.868408 -38.004820
    Unten links KachelX 12390 KachelY + 1 20130 -0.76583991 -0.66346032 -43.879395 -38.013476
    Unten rechts KachelX + 1 12391 KachelY + 1 20130 -0.76564816 -0.66346032 -43.868408 -38.013476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66330924--0.66346032) × R
    0.00015107999999997 × 6371000     		dl = 962.53067999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66330924--0.66346032) × R
    0.00015107999999997 × 6371000     		dr = 962.53067999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76583991--0.76564816) × cos(-0.66330924) × R
    0.000191749999999935 × 0.787958958763415 × 6371000     		do = 962.601591414194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76583991--0.76564816) × cos(-0.66346032) × R
    0.000191749999999935 × 0.787865925620544 × 6371000     		du = 962.487938475311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66330924)-sin(-0.66346032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787958958763415-0.787865925620544)×R²
    abs(-0.76564816--0.76583991)×9.3033142871457e-05×R²
    0.000191749999999935×9.3033142871457e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.3033142871457e-05×40589641000000     		ar = 926478.868894604m²