Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123899 / 25746
↖ ↑ ↗
← N 73.110588°
E160.298767°		 ← 88.73 m → N 73.110588°
E160.301514°		 →
↑
88.75 m
↓
↑
88.75 m
↓
N 73.109790°
E160.298767°		 ← 88.74 m →
7 875 m²		 N 73.109790°
E160.301514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945278167724609 y=0.196430206298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945278167724609 × 217)
    floor (0.945278167724609 × 131072)
    floor (123899.5)     		tx = 123899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196430206298828 × 217)
    floor (0.196430206298828 × 131072)
    floor (25746.5)     		ty = 25746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123899 / 25746 ti = "17/123899/25746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123899/25746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123899 ÷ 217
    123899 ÷ 131072     		x = 0.945274353027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25746 ÷ 217
    25746 ÷ 131072     		y = 0.196426391601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945274353027344 × 2 - 1) × π
    0.890548706054688 × 3.1415926535     		Λ = 2.79774127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196426391601562 × 2 - 1) × π
    0.607147216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.90740923588203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79774127} λ = 2.79774127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90740923588203))-π/2
    2×atan(6.73561578239156)-π/2
    2×1.42340840310132-π/2
    2.84681680620265-1.57079632675     		φ = 1.27602048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79774127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.298767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27602048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.110588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123899 KachelY 25746 2.79774127 1.27602048 160.298767 73.110588
    Oben rechts KachelX + 1 123900 KachelY 25746 2.79778921 1.27602048 160.301514 73.110588
    Unten links KachelX 123899 KachelY + 1 25747 2.79774127 1.27600655 160.298767 73.109790
    Unten rechts KachelX + 1 123900 KachelY + 1 25747 2.79778921 1.27600655 160.301514 73.109790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27602048-1.27600655) × R
    1.39299999999398e-05 × 6371000     		dl = 88.7480299996166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27602048-1.27600655) × R
    1.39299999999398e-05 × 6371000     		dr = 88.7480299996166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79774127-2.79778921) × cos(1.27602048) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290525372554525 × 6371000     		do = 88.7339269011835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79774127-2.79778921) × cos(1.27600655) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290538701687667 × 6371000     		du = 88.7379979615368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27602048)-sin(1.27600655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290525372554525-0.290538701687667)×R²
    abs(2.79778921-2.79774127)×1.33291331415597e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33291331415597e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33291331415597e-05×40589641000000     		ar = 7875.14185595433m²