Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123898 / 25786
↖ ↑ ↗
← N 73.078641°
E160.296021°		 ← 88.88 m → N 73.078641°
E160.298767°		 →
↑
88.88 m
↓
↑
88.88 m
↓
N 73.077841°
E160.296021°		 ← 88.88 m →
7 899 m²		 N 73.077841°
E160.298767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945270538330078 y=0.196735382080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945270538330078 × 217)
    floor (0.945270538330078 × 131072)
    floor (123898.5)     		tx = 123898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196735382080078 × 217)
    floor (0.196735382080078 × 131072)
    floor (25786.5)     		ty = 25786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123898 / 25786 ti = "17/123898/25786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123898/25786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123898 ÷ 217
    123898 ÷ 131072     		x = 0.945266723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25786 ÷ 217
    25786 ÷ 131072     		y = 0.196731567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945266723632812 × 2 - 1) × π
    0.890533447265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.79769334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196731567382812 × 2 - 1) × π
    0.606536865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.90549175989723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79769334} λ = 2.79769334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90549175989723))-π/2
    2×atan(6.72271277544234)-π/2
    2×1.42312960972012-π/2
    2.84625921944024-1.57079632675     		φ = 1.27546289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79769334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.296021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27546289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.078641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123898 KachelY 25786 2.79769334 1.27546289 160.296021 73.078641
    Oben rechts KachelX + 1 123899 KachelY 25786 2.79774127 1.27546289 160.298767 73.078641
    Unten links KachelX 123898 KachelY + 1 25787 2.79769334 1.27544894 160.296021 73.077841
    Unten rechts KachelX + 1 123899 KachelY + 1 25787 2.79774127 1.27544894 160.298767 73.077841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27546289-1.27544894) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dl = 88.8754500002569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27546289-1.27544894) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dr = 88.8754500002569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79769334-2.79774127) × cos(1.27546289) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.291058866995175 × 6371000     		do = 88.878326475201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79769334-2.79774127) × cos(1.27544894) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.291072213003637 × 6371000     		du = 88.8824018394375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27546289)-sin(1.27544894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291058866995175-0.291072213003637)×R²
    abs(2.79774127-2.79769334)×1.33460084627002e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33460084627002e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33460084627002e-05×40589641000000     		ar = 7899.28236070179m²