Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123897 / 25753
↖ ↑ ↗
← N 73.105002°
E160.293274°		 ← 88.76 m → N 73.105002°
E160.296021°		 →
↑
88.81 m
↓
↑
88.81 m
↓
N 73.104203°
E160.293274°		 ← 88.77 m →
7 883 m²		 N 73.104203°
E160.296021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945262908935547 y=0.196483612060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945262908935547 × 217)
    floor (0.945262908935547 × 131072)
    floor (123897.5)     		tx = 123897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196483612060547 × 217)
    floor (0.196483612060547 × 131072)
    floor (25753.5)     		ty = 25753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123897 / 25753 ti = "17/123897/25753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123897/25753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123897 ÷ 217
    123897 ÷ 131072     		x = 0.945259094238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25753 ÷ 217
    25753 ÷ 131072     		y = 0.196479797363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945259094238281 × 2 - 1) × π
    0.890518188476562 × 3.1415926535     		Λ = 2.79764540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196479797363281 × 2 - 1) × π
    0.607040405273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.90707367758469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79764540} λ = 2.79764540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90707367758469))-π/2
    2×atan(6.73335596979872)-π/2
    2×1.4233596511753-π/2
    2.8467193023506-1.57079632675     		φ = 1.27592298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79764540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.293274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27592298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.105002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123897 KachelY 25753 2.79764540 1.27592298 160.293274 73.105002
    Oben rechts KachelX + 1 123898 KachelY 25753 2.79769334 1.27592298 160.296021 73.105002
    Unten links KachelX 123897 KachelY + 1 25754 2.79764540 1.27590904 160.293274 73.104203
    Unten rechts KachelX + 1 123898 KachelY + 1 25754 2.79769334 1.27590904 160.296021 73.104203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27592298-1.27590904) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dl = 88.8117400006441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27592298-1.27590904) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dr = 88.8117400006441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79764540-2.79769334) × cos(1.27592298) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290618665734108 × 6371000     		do = 88.7624210395944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79764540-2.79769334) × cos(1.27590904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290632004040942 × 6371000     		du = 88.7664949018295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27592298)-sin(1.27590904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290618665734108-0.290632004040942)×R²
    abs(2.79769334-2.79764540)×1.33383068340875e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33383068340875e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33383068340875e-05×40589641000000     		ar = 7883.32596268264m²