Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123896 / 25752
↖ ↑ ↗
← N 73.105800°
E160.290527°		 ← 88.76 m → N 73.105800°
E160.293274°		 →
↑
88.75 m
↓
↑
88.75 m
↓
N 73.105002°
E160.290527°		 ← 88.76 m →
7 877 m²		 N 73.105002°
E160.293274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945255279541016 y=0.196475982666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945255279541016 × 217)
    floor (0.945255279541016 × 131072)
    floor (123896.5)     		tx = 123896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196475982666016 × 217)
    floor (0.196475982666016 × 131072)
    floor (25752.5)     		ty = 25752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123896 / 25752 ti = "17/123896/25752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123896/25752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123896 ÷ 217
    123896 ÷ 131072     		x = 0.94525146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25752 ÷ 217
    25752 ÷ 131072     		y = 0.19647216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94525146484375 × 2 - 1) × π
    0.8905029296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.79759746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19647216796875 × 2 - 1) × π
    0.6070556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.90712161448431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79759746} λ = 2.79759746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90712161448431))-π/2
    2×atan(6.73367875374452)-π/2
    2×1.42336661669456-π/2
    2.84673323338911-1.57079632675     		φ = 1.27593691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79759746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.290527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27593691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.105800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123896 KachelY 25752 2.79759746 1.27593691 160.290527 73.105800
    Oben rechts KachelX + 1 123897 KachelY 25752 2.79764540 1.27593691 160.293274 73.105800
    Unten links KachelX 123896 KachelY + 1 25753 2.79759746 1.27592298 160.290527 73.105002
    Unten rechts KachelX + 1 123897 KachelY + 1 25753 2.79764540 1.27592298 160.293274 73.105002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27593691-1.27592298) × R
    1.39299999999398e-05 × 6371000     		dl = 88.7480299996166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27593691-1.27592298) × R
    1.39299999999398e-05 × 6371000     		dr = 88.7480299996166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79759746-2.79764540) × cos(1.27593691) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29060533693923 × 6371000     		do = 88.7583500825555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79759746-2.79764540) × cos(1.27592298) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290618665734108 × 6371000     		du = 88.7624210395944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27593691)-sin(1.27592298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29060533693923-0.290618665734108)×R²
    abs(2.79764540-2.79759746)×1.33287948779204e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33287948779204e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33287948779204e-05×40589641000000     		ar = 7877.30936061004m²