Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123895 / 25755
↖ ↑ ↗
← N 73.103405°
E160.287780°		 ← 88.77 m → N 73.103405°
E160.290527°		 →
↑
88.75 m
↓
↑
88.75 m
↓
N 73.102607°
E160.287780°		 ← 88.77 m →
7 878 m²		 N 73.102607°
E160.290527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945247650146484 y=0.196498870849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945247650146484 × 217)
    floor (0.945247650146484 × 131072)
    floor (123895.5)     		tx = 123895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196498870849609 × 217)
    floor (0.196498870849609 × 131072)
    floor (25755.5)     		ty = 25755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123895 / 25755 ti = "17/123895/25755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123895/25755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123895 ÷ 217
    123895 ÷ 131072     		x = 0.945243835449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25755 ÷ 217
    25755 ÷ 131072     		y = 0.196495056152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945243835449219 × 2 - 1) × π
    0.890487670898438 × 3.1415926535     		Λ = 2.79754952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196495056152344 × 2 - 1) × π
    0.607009887695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.90697780378545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79754952} λ = 2.79754952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90697780378545))-π/2
    2×atan(6.73271044832506)-π/2
    2×1.42334571917827-π/2
    2.84669143835654-1.57079632675     		φ = 1.27589511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79754952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.287780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27589511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.103405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123895 KachelY 25755 2.79754952 1.27589511 160.287780 73.103405
    Oben rechts KachelX + 1 123896 KachelY 25755 2.79759746 1.27589511 160.290527 73.103405
    Unten links KachelX 123895 KachelY + 1 25756 2.79754952 1.27588118 160.287780 73.102607
    Unten rechts KachelX + 1 123896 KachelY + 1 25756 2.79759746 1.27588118 160.290527 73.102607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27589511-1.27588118) × R
    1.39299999999398e-05 × 6371000     		dl = 88.7480299996166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27589511-1.27588118) × R
    1.39299999999398e-05 × 6371000     		dr = 88.7480299996166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79754952-2.79759746) × cos(1.27589511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290645332722991 × 6371000     		do = 88.7705658244075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79754952-2.79759746) × cos(1.27588118) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290658661348641 × 6371000     		du = 88.7746367297599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27589511)-sin(1.27588118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290645332722991-0.290658661348641)×R²
    abs(2.79759746-2.79754952)×1.3328625650455e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3328625650455e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3328625650455e-05×40589641000000     		ar = 7878.39348160108m²