Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123892 / 25796
↖ ↑ ↗
← N 73.070645°
E160.279541°		 ← 88.94 m → N 73.070645°
E160.282288°		 →
↑
88.94 m
↓
↑
88.94 m
↓
N 73.069845°
E160.279541°		 ← 88.94 m →
7 910 m²		 N 73.069845°
E160.282288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945224761962891 y=0.196811676025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945224761962891 × 217)
    floor (0.945224761962891 × 131072)
    floor (123892.5)     		tx = 123892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196811676025391 × 217)
    floor (0.196811676025391 × 131072)
    floor (25796.5)     		ty = 25796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123892 / 25796 ti = "17/123892/25796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123892/25796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123892 ÷ 217
    123892 ÷ 131072     		x = 0.945220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25796 ÷ 217
    25796 ÷ 131072     		y = 0.196807861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945220947265625 × 2 - 1) × π
    0.89044189453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79740571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196807861328125 × 2 - 1) × π
    0.60638427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.90501239090103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79740571} λ = 2.79740571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90501239090103))-π/2
    2×atan(6.71949088766568)-π/2
    2×1.42305983142304-π/2
    2.84611966284608-1.57079632675     		φ = 1.27532334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79740571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.279541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27532334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.070645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123892 KachelY 25796 2.79740571 1.27532334 160.279541 73.070645
    Oben rechts KachelX + 1 123893 KachelY 25796 2.79745365 1.27532334 160.282288 73.070645
    Unten links KachelX 123892 KachelY + 1 25797 2.79740571 1.27530938 160.279541 73.069845
    Unten rechts KachelX + 1 123893 KachelY + 1 25797 2.79745365 1.27530938 160.282288 73.069845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27532334-1.27530938) × R
    1.39599999999795e-05 × 6371000     		dl = 88.9391599998697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27532334-1.27530938) × R
    1.39599999999795e-05 × 6371000     		dr = 88.9391599998697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79740571-2.79745365) × cos(1.27532334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291192372363764 × 6371000     		do = 88.9376458114999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79740571-2.79745365) × cos(1.27530938) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291205727372078 × 6371000     		du = 88.9417247747967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27532334)-sin(1.27530938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291192372363764-0.291205727372078)×R²
    abs(2.79745365-2.79740571)×1.33550083134537e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33550083134537e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33550083134537e-05×40589641000000     		ar = 7910.22090069645m²