Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123888 / 25741
↖ ↑ ↗
← N 73.114578°
E160.268555°		 ← 88.70 m → N 73.114578°
E160.271301°		 →
↑
88.75 m
↓
↑
88.75 m
↓
N 73.113779°
E160.268555°		 ← 88.70 m →
7 872 m²		 N 73.113779°
E160.271301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945194244384766 y=0.196392059326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945194244384766 × 217)
    floor (0.945194244384766 × 131072)
    floor (123888.5)     		tx = 123888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196392059326172 × 217)
    floor (0.196392059326172 × 131072)
    floor (25741.5)     		ty = 25741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123888 / 25741 ti = "17/123888/25741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123888/25741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123888 ÷ 217
    123888 ÷ 131072     		x = 0.9451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25741 ÷ 217
    25741 ÷ 131072     		y = 0.196388244628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9451904296875 × 2 - 1) × π
    0.890380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.79721397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196388244628906 × 2 - 1) × π
    0.607223510742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.90764892038013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79721397} λ = 2.79721397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90764892038013))-π/2
    2×atan(6.73723039857127)-π/2
    2×1.42344321632312-π/2
    2.84688643264624-1.57079632675     		φ = 1.27609011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79721397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.268555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27609011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.114578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123888 KachelY 25741 2.79721397 1.27609011 160.268555 73.114578
    Oben rechts KachelX + 1 123889 KachelY 25741 2.79726190 1.27609011 160.271301 73.114578
    Unten links KachelX 123888 KachelY + 1 25742 2.79721397 1.27607618 160.268555 73.113779
    Unten rechts KachelX + 1 123889 KachelY + 1 25742 2.79726190 1.27607618 160.271301 73.113779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27609011-1.27607618) × R
    1.39299999999398e-05 × 6371000     		dl = 88.7480299996166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27609011-1.27607618) × R
    1.39299999999398e-05 × 6371000     		dr = 88.7480299996166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79721397-2.79726190) × cos(1.27609011) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290458745180995 × 6371000     		do = 88.6950720597756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79721397-2.79726190) × cos(1.27607618) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290472074595905 × 6371000     		du = 88.6991423569711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27609011)-sin(1.27607618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290458745180995-0.290472074595905)×R²
    abs(2.79726190-2.79721397)×1.3329414909613e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.3329414909613e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.3329414909613e-05×40589641000000     		ar = 7871.69353143963m²