Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123886 / 25798
↖ ↑ ↗
← N 73.069045°
E160.263061°		 ← 88.95 m → N 73.069045°
E160.265808°		 →
↑
88.94 m
↓
↑
88.94 m
↓
N 73.068245°
E160.263061°		 ← 88.95 m →
7 911 m²		 N 73.068245°
E160.265808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945178985595703 y=0.196826934814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945178985595703 × 217)
    floor (0.945178985595703 × 131072)
    floor (123886.5)     		tx = 123886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196826934814453 × 217)
    floor (0.196826934814453 × 131072)
    floor (25798.5)     		ty = 25798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123886 / 25798 ti = "17/123886/25798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123886/25798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123886 ÷ 217
    123886 ÷ 131072     		x = 0.945175170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25798 ÷ 217
    25798 ÷ 131072     		y = 0.196823120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945175170898438 × 2 - 1) × π
    0.890350341796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.79711809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196823120117188 × 2 - 1) × π
    0.606353759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.90491651710179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79711809} λ = 2.79711809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90491651710179))-π/2
    2×atan(6.7188466954264)-π/2
    2×1.42304587192317-π/2
    2.84609174384635-1.57079632675     		φ = 1.27529542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79711809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.263061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27529542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.069045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123886 KachelY 25798 2.79711809 1.27529542 160.263061 73.069045
    Oben rechts KachelX + 1 123887 KachelY 25798 2.79716603 1.27529542 160.265808 73.069045
    Unten links KachelX 123886 KachelY + 1 25799 2.79711809 1.27528146 160.263061 73.068245
    Unten rechts KachelX + 1 123887 KachelY + 1 25799 2.79716603 1.27528146 160.265808 73.068245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27529542-1.27528146) × R
    1.39599999999795e-05 × 6371000     		dl = 88.9391599998697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27529542-1.27528146) × R
    1.39599999999795e-05 × 6371000     		dr = 88.9391599998697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79711809-2.79716603) × cos(1.27529542) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29121908232364 × 6371000     		do = 88.9458037207604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79711809-2.79716603) × cos(1.27528146) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29123243721845 × 6371000     		du = 88.9498826493902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27529542)-sin(1.27528146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29121908232364-0.29123243721845)×R²
    abs(2.79716603-2.79711809)×1.33548948095807e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33548948095807e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33548948095807e-05×40589641000000     		ar = 7910.94645683468m²