Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123884 / 25740
↖ ↑ ↗
← N 73.115375°
E160.257568°		 ← 88.71 m → N 73.115375°
E160.260315°		 →
↑
88.68 m
↓
↑
88.68 m
↓
N 73.114578°
E160.257568°		 ← 88.71 m →
7 867 m²		 N 73.114578°
E160.260315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945163726806641 y=0.196384429931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945163726806641 × 217)
    floor (0.945163726806641 × 131072)
    floor (123884.5)     		tx = 123884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196384429931641 × 217)
    floor (0.196384429931641 × 131072)
    floor (25740.5)     		ty = 25740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123884 / 25740 ti = "17/123884/25740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123884/25740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123884 ÷ 217
    123884 ÷ 131072     		x = 0.945159912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25740 ÷ 217
    25740 ÷ 131072     		y = 0.196380615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945159912109375 × 2 - 1) × π
    0.89031982421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.79702222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196380615234375 × 2 - 1) × π
    0.60723876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90769685727975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79702222} λ = 2.79702222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90769685727975))-π/2
    2×atan(6.73755336824962)-π/2
    2×1.4234501780094-π/2
    2.84690035601881-1.57079632675     		φ = 1.27610403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79702222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.257568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27610403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.115375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123884 KachelY 25740 2.79702222 1.27610403 160.257568 73.115375
    Oben rechts KachelX + 1 123885 KachelY 25740 2.79707016 1.27610403 160.260315 73.115375
    Unten links KachelX 123884 KachelY + 1 25741 2.79702222 1.27609011 160.257568 73.114578
    Unten rechts KachelX + 1 123885 KachelY + 1 25741 2.79707016 1.27609011 160.260315 73.114578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27610403-1.27609011) × R
    1.39200000000006e-05 × 6371000     		dl = 88.6843200000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27610403-1.27609011) × R
    1.39200000000006e-05 × 6371000     		dr = 88.6843200000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79702222-2.79707016) × cos(1.27610403) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290445425278639 × 6371000     		do = 88.7095089452848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79702222-2.79707016) × cos(1.27609011) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290458745180995 × 6371000     		du = 88.7135771863186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27610403)-sin(1.27609011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290445425278639-0.290458745180995)×R²
    abs(2.79707016-2.79702222)×1.33199023560904e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33199023560904e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33199023560904e-05×40589641000000     		ar = 7867.32287310768m²