Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123883 / 25797
↖ ↑ ↗
← N 73.069845°
E160.254822°		 ← 88.94 m → N 73.069845°
E160.257568°		 →
↑
88.94 m
↓
↑
88.94 m
↓
N 73.069045°
E160.254822°		 ← 88.95 m →
7 911 m²		 N 73.069045°
E160.257568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945156097412109 y=0.196819305419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945156097412109 × 217)
    floor (0.945156097412109 × 131072)
    floor (123883.5)     		tx = 123883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196819305419922 × 217)
    floor (0.196819305419922 × 131072)
    floor (25797.5)     		ty = 25797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123883 / 25797 ti = "17/123883/25797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123883/25797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123883 ÷ 217
    123883 ÷ 131072     		x = 0.945152282714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25797 ÷ 217
    25797 ÷ 131072     		y = 0.196815490722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945152282714844 × 2 - 1) × π
    0.890304565429688 × 3.1415926535     		Λ = 2.79697428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196815490722656 × 2 - 1) × π
    0.606369018554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.90496445400141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79697428} λ = 2.79697428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90496445400141))-π/2
    2×atan(6.7191687838259)-π/2
    2×1.42305285183315-π/2
    2.8461057036663-1.57079632675     		φ = 1.27530938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79697428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.254822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27530938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.069845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123883 KachelY 25797 2.79697428 1.27530938 160.254822 73.069845
    Oben rechts KachelX + 1 123884 KachelY 25797 2.79702222 1.27530938 160.257568 73.069845
    Unten links KachelX 123883 KachelY + 1 25798 2.79697428 1.27529542 160.254822 73.069045
    Unten rechts KachelX + 1 123884 KachelY + 1 25798 2.79702222 1.27529542 160.257568 73.069045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27530938-1.27529542) × R
    1.39599999999795e-05 × 6371000     		dl = 88.9391599998697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27530938-1.27529542) × R
    1.39599999999795e-05 × 6371000     		dr = 88.9391599998697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79697428-2.79702222) × cos(1.27530938) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291205727372078 × 6371000     		do = 88.9417247747967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79697428-2.79702222) × cos(1.27529542) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29121908232364 × 6371000     		du = 88.9458037207604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27530938)-sin(1.27529542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291205727372078-0.29121908232364)×R²
    abs(2.79702222-2.79697428)×1.33549515627385e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33549515627385e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33549515627385e-05×40589641000000     		ar = 7910.58367952169m²