Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123882 / 25738
↖ ↑ ↗
← N 73.116970°
E160.252075°		 ← 88.68 m → N 73.116970°
E160.254822°		 →
↑
88.68 m
↓
↑
88.68 m
↓
N 73.116173°
E160.252075°		 ← 88.69 m →
7 865 m²		 N 73.116173°
E160.254822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945148468017578 y=0.196369171142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945148468017578 × 217)
    floor (0.945148468017578 × 131072)
    floor (123882.5)     		tx = 123882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196369171142578 × 217)
    floor (0.196369171142578 × 131072)
    floor (25738.5)     		ty = 25738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123882 / 25738 ti = "17/123882/25738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123882/25738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123882 ÷ 217
    123882 ÷ 131072     		x = 0.945144653320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25738 ÷ 217
    25738 ÷ 131072     		y = 0.196365356445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945144653320312 × 2 - 1) × π
    0.890289306640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.79692635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196365356445312 × 2 - 1) × π
    0.607269287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.90779273107899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79692635} λ = 2.79692635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90779273107899))-π/2
    2×atan(6.73819935405468)-π/2
    2×1.423464100424-π/2
    2.846928200848-1.57079632675     		φ = 1.27613187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79692635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.252075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27613187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.116970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123882 KachelY 25738 2.79692635 1.27613187 160.252075 73.116970
    Oben rechts KachelX + 1 123883 KachelY 25738 2.79697428 1.27613187 160.254822 73.116970
    Unten links KachelX 123882 KachelY + 1 25739 2.79692635 1.27611795 160.252075 73.116173
    Unten rechts KachelX + 1 123883 KachelY + 1 25739 2.79697428 1.27611795 160.254822 73.116173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27613187-1.27611795) × R
    1.39200000000006e-05 × 6371000     		dl = 88.6843200000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27613187-1.27611795) × R
    1.39200000000006e-05 × 6371000     		dr = 88.6843200000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79692635-2.79697428) × cos(1.27613187) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290418785305093 × 6371000     		do = 88.6828698309518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79692635-2.79697428) × cos(1.27611795) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290432105320004 × 6371000     		du = 88.6869372577445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27613187)-sin(1.27611795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290418785305093-0.290432105320004)×R²
    abs(2.79697428-2.79692635)×1.33200149106671e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33200149106671e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33200149106671e-05×40589641000000     		ar = 7864.96036537431m²