Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123881 / 25705
↖ ↑ ↗
← N 73.143274°
E160.249329°		 ← 88.57 m → N 73.143274°
E160.252075°		 →
↑
88.62 m
↓
↑
88.62 m
↓
N 73.142477°
E160.249329°		 ← 88.57 m →
7 849 m²		 N 73.142477°
E160.252075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945140838623047 y=0.196117401123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945140838623047 × 217)
    floor (0.945140838623047 × 131072)
    floor (123881.5)     		tx = 123881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196117401123047 × 217)
    floor (0.196117401123047 × 131072)
    floor (25705.5)     		ty = 25705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123881 / 25705 ti = "17/123881/25705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123881/25705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123881 ÷ 217
    123881 ÷ 131072     		x = 0.945137023925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25705 ÷ 217
    25705 ÷ 131072     		y = 0.196113586425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945137023925781 × 2 - 1) × π
    0.890274047851562 × 3.1415926535     		Λ = 2.79687841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196113586425781 × 2 - 1) × π
    0.607772827148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.90937464876646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79687841} λ = 2.79687841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90937464876646))-π/2
    2×atan(6.74886706629121)-π/2
    2×1.4236936359475-π/2
    2.84738727189501-1.57079632675     		φ = 1.27659095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79687841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.249329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27659095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.143274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123881 KachelY 25705 2.79687841 1.27659095 160.249329 73.143274
    Oben rechts KachelX + 1 123882 KachelY 25705 2.79692635 1.27659095 160.252075 73.143274
    Unten links KachelX 123881 KachelY + 1 25706 2.79687841 1.27657704 160.249329 73.142477
    Unten rechts KachelX + 1 123882 KachelY + 1 25706 2.79692635 1.27657704 160.252075 73.142477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27659095-1.27657704) × R
    1.39099999998393e-05 × 6371000     		dl = 88.6206099989764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27659095-1.27657704) × R
    1.39099999998393e-05 × 6371000     		dr = 88.6206099989764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79687841-2.79692635) × cos(1.27659095) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.289979461228323 × 6371000     		do = 88.5671915304037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79687841-2.79692635) × cos(1.27657704) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.289992773527474 × 6371000     		du = 88.5712574492231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27659095)-sin(1.27657704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289979461228323-0.289992773527474)×R²
    abs(2.79692635-2.79687841)×1.33122991513579e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33122991513579e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33122991513579e-05×40589641000000     		ar = 7849.05870151197m²