Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123880 / 25736
↖ ↑ ↗
← N 73.118566°
E160.246582°		 ← 88.69 m → N 73.118566°
E160.249329°		 →
↑
88.68 m
↓
↑
88.68 m
↓
N 73.117768°
E160.246582°		 ← 88.70 m →
7 866 m²		 N 73.117768°
E160.249329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945133209228516 y=0.196353912353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945133209228516 × 217)
    floor (0.945133209228516 × 131072)
    floor (123880.5)     		tx = 123880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196353912353516 × 217)
    floor (0.196353912353516 × 131072)
    floor (25736.5)     		ty = 25736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123880 / 25736 ti = "17/123880/25736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123880/25736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123880 ÷ 217
    123880 ÷ 131072     		x = 0.94512939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25736 ÷ 217
    25736 ÷ 131072     		y = 0.19635009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94512939453125 × 2 - 1) × π
    0.8902587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.79683047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19635009765625 × 2 - 1) × π
    0.6072998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.90788860487823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79683047} λ = 2.79683047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90788860487823))-π/2
    2×atan(6.73884540179582)-π/2
    2×1.42347802156139-π/2
    2.84695604312277-1.57079632675     		φ = 1.27615972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79683047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.246582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27615972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.118566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123880 KachelY 25736 2.79683047 1.27615972 160.246582 73.118566
    Oben rechts KachelX + 1 123881 KachelY 25736 2.79687841 1.27615972 160.249329 73.118566
    Unten links KachelX 123880 KachelY + 1 25737 2.79683047 1.27614580 160.246582 73.117768
    Unten rechts KachelX + 1 123881 KachelY + 1 25737 2.79687841 1.27614580 160.249329 73.117768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27615972-1.27614580) × R
    1.39200000000006e-05 × 6371000     		dl = 88.6843200000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27615972-1.27614580) × R
    1.39200000000006e-05 × 6371000     		dr = 88.6843200000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79683047-2.79687841) × cos(1.27615972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290392135537377 × 6371000     		do = 88.6932328866255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79683047-2.79687841) × cos(1.27614580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290405455664872 × 6371000     		du = 88.6973011964227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27615972)-sin(1.27614580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290392135537377-0.290405455664872)×R²
    abs(2.79687841-2.79683047)×1.33201274952754e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33201274952754e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33201274952754e-05×40589641000000     		ar = 7865.87944496868m²