Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123877 / 25702
↖ ↑ ↗
← N 73.145662°
E160.238342°		 ← 88.56 m → N 73.145662°
E160.241089°		 →
↑
88.49 m
↓
↑
88.49 m
↓
N 73.144866°
E160.238342°		 ← 88.56 m →
7 837 m²		 N 73.144866°
E160.241089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945110321044922 y=0.196094512939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945110321044922 × 217)
    floor (0.945110321044922 × 131072)
    floor (123877.5)     		tx = 123877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196094512939453 × 217)
    floor (0.196094512939453 × 131072)
    floor (25702.5)     		ty = 25702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123877 / 25702 ti = "17/123877/25702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123877/25702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123877 ÷ 217
    123877 ÷ 131072     		x = 0.945106506347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25702 ÷ 217
    25702 ÷ 131072     		y = 0.196090698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945106506347656 × 2 - 1) × π
    0.890213012695312 × 3.1415926535     		Λ = 2.79668666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196090698242188 × 2 - 1) × π
    0.607818603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.90951845946532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79668666} λ = 2.79668666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90951845946532))-π/2
    2×atan(6.74983769537228)-π/2
    2×1.42371448558751-π/2
    2.84742897117501-1.57079632675     		φ = 1.27663264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79668666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.238342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27663264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.145662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123877 KachelY 25702 2.79668666 1.27663264 160.238342 73.145662
    Oben rechts KachelX + 1 123878 KachelY 25702 2.79673460 1.27663264 160.241089 73.145662
    Unten links KachelX 123877 KachelY + 1 25703 2.79668666 1.27661875 160.238342 73.144866
    Unten rechts KachelX + 1 123878 KachelY + 1 25703 2.79673460 1.27661875 160.241089 73.144866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27663264-1.27661875) × R
    1.38900000001829e-05 × 6371000     		dl = 88.4931900011654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27663264-1.27661875) × R
    1.38900000001829e-05 × 6371000     		dr = 88.4931900011654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79668666-2.79673460) × cos(1.27663264) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.289939562276031 × 6371000     		do = 88.5550053633749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79668666-2.79673460) × cos(1.27661875) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.289952855602518 × 6371000     		du = 88.5590654874542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27663264)-sin(1.27661875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289939562276031-0.289952855602518)×R²
    abs(2.79673460-2.79668666)×1.32933264868629e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32933264868629e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32933264868629e-05×40589641000000     		ar = 7836.69456205306m²