Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123877 / 25541
↖ ↑ ↗
← N 73.273401°
E160.238342°		 ← 87.90 m → N 73.273401°
E160.241089°		 →
↑
87.92 m
↓
↑
87.92 m
↓
N 73.272611°
E160.238342°		 ← 87.91 m →
7 729 m²		 N 73.272611°
E160.241089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945110321044922 y=0.194866180419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945110321044922 × 217)
    floor (0.945110321044922 × 131072)
    floor (123877.5)     		tx = 123877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194866180419922 × 217)
    floor (0.194866180419922 × 131072)
    floor (25541.5)     		ty = 25541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123877 / 25541 ti = "17/123877/25541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123877/25541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123877 ÷ 217
    123877 ÷ 131072     		x = 0.945106506347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25541 ÷ 217
    25541 ÷ 131072     		y = 0.194862365722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945106506347656 × 2 - 1) × π
    0.890213012695312 × 3.1415926535     		Λ = 2.79668666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194862365722656 × 2 - 1) × π
    0.610275268554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.91723630030415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79668666} λ = 2.79668666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91723630030415))-π/2
    2×atan(6.80213341382597)-π/2
    2×1.42482921639232-π/2
    2.84965843278464-1.57079632675     		φ = 1.27886211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79668666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.238342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27886211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.273401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123877 KachelY 25541 2.79668666 1.27886211 160.238342 73.273401
    Oben rechts KachelX + 1 123878 KachelY 25541 2.79673460 1.27886211 160.241089 73.273401
    Unten links KachelX 123877 KachelY + 1 25542 2.79668666 1.27884831 160.238342 73.272611
    Unten rechts KachelX + 1 123878 KachelY + 1 25542 2.79673460 1.27884831 160.241089 73.272611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27886211-1.27884831) × R
    1.37999999998417e-05 × 6371000     		dl = 87.9197999989916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27886211-1.27884831) × R
    1.37999999998417e-05 × 6371000     		dr = 87.9197999989916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79668666-2.79673460) × cos(1.27886211) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.287805140445477 × 6371000     		do = 87.9030979963062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79668666-2.79673460) × cos(1.27884831) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.287818356526131 × 6371000     		du = 87.9071345275197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27886211)-sin(1.27884831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287805140445477-0.287818356526131)×R²
    abs(2.79673460-2.79668666)×1.3216080653522e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3216080653522e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3216080653522e-05×40589641000000     		ar = 7728.60024088722m²