Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123873 / 25547
↖ ↑ ↗
← N 73.268658°
E160.227356°		 ← 87.93 m → N 73.268658°
E160.230103°		 →
↑
87.92 m
↓
↑
87.92 m
↓
N 73.267867°
E160.227356°		 ← 87.93 m →
7 731 m²		 N 73.267867°
E160.230103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945079803466797 y=0.194911956787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945079803466797 × 217)
    floor (0.945079803466797 × 131072)
    floor (123873.5)     		tx = 123873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194911956787109 × 217)
    floor (0.194911956787109 × 131072)
    floor (25547.5)     		ty = 25547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123873 / 25547 ti = "17/123873/25547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123873/25547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123873 ÷ 217
    123873 ÷ 131072     		x = 0.945075988769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25547 ÷ 217
    25547 ÷ 131072     		y = 0.194908142089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945075988769531 × 2 - 1) × π
    0.890151977539062 × 3.1415926535     		Λ = 2.79649491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194908142089844 × 2 - 1) × π
    0.610183715820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.91694867890643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79649491} λ = 2.79649491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91694867890643))-π/2
    2×atan(6.80017725603591)-π/2
    2×1.42478782123251-π/2
    2.84957564246501-1.57079632675     		φ = 1.27877932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79649491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.227356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27877932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.268658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123873 KachelY 25547 2.79649491 1.27877932 160.227356 73.268658
    Oben rechts KachelX + 1 123874 KachelY 25547 2.79654285 1.27877932 160.230103 73.268658
    Unten links KachelX 123873 KachelY + 1 25548 2.79649491 1.27876552 160.227356 73.267867
    Unten rechts KachelX + 1 123874 KachelY + 1 25548 2.79654285 1.27876552 160.230103 73.267867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27877932-1.27876552) × R
    1.37999999998417e-05 × 6371000     		dl = 87.9197999989916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27877932-1.27876552) × R
    1.37999999998417e-05 × 6371000     		dr = 87.9197999989916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79649491-2.79654285) × cos(1.27877932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.287884426530515 × 6371000     		do = 87.9273140075007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79649491-2.79654285) × cos(1.27876552) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.287897642282298 × 6371000     		du = 87.9313504382685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27877932)-sin(1.27876552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287884426530515-0.287897642282298)×R²
    abs(2.79654285-2.79649491)×1.32157517827025e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32157517827025e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32157517827025e-05×40589641000000     		ar = 7730.72930325218m²