Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123872 / 25548
↖ ↑ ↗
← N 73.267867°
E160.224610°		 ← 87.91 m → N 73.267867°
E160.227356°		 →
↑
87.98 m
↓
↑
87.98 m
↓
N 73.267076°
E160.224610°		 ← 87.92 m →
7 735 m²		 N 73.267076°
E160.227356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945072174072266 y=0.194919586181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945072174072266 × 217)
    floor (0.945072174072266 × 131072)
    floor (123872.5)     		tx = 123872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194919586181641 × 217)
    floor (0.194919586181641 × 131072)
    floor (25548.5)     		ty = 25548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123872 / 25548 ti = "17/123872/25548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123872/25548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123872 ÷ 217
    123872 ÷ 131072     		x = 0.945068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25548 ÷ 217
    25548 ÷ 131072     		y = 0.194915771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945068359375 × 2 - 1) × π
    0.89013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.79644698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194915771484375 × 2 - 1) × π
    0.61016845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.91690074200681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79644698} λ = 2.79644698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91690074200681))-π/2
    2×atan(6.79985128443449)-π/2
    2×1.42478092093059-π/2
    2.84956184186118-1.57079632675     		φ = 1.27876552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79644698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.224610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27876552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.267867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123872 KachelY 25548 2.79644698 1.27876552 160.224610 73.267867
    Oben rechts KachelX + 1 123873 KachelY 25548 2.79649491 1.27876552 160.227356 73.267867
    Unten links KachelX 123872 KachelY + 1 25549 2.79644698 1.27875171 160.224610 73.267076
    Unten rechts KachelX + 1 123873 KachelY + 1 25549 2.79649491 1.27875171 160.227356 73.267076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27876552-1.27875171) × R
    1.3810000000003e-05 × 6371000     		dl = 87.983510000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27876552-1.27875171) × R
    1.3810000000003e-05 × 6371000     		dr = 87.983510000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79644698-2.79649491) × cos(1.27876552) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.287897642282298 × 6371000     		do = 87.9130084795902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79644698-2.79649491) × cos(1.27875171) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.287910867555826 × 6371000     		du = 87.917046975962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27876552)-sin(1.27875171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287897642282298-0.287910867555826)×R²
    abs(2.79649491-2.79644698)×1.32252735277616e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.32252735277616e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.32252735277616e-05×40589641000000     		ar = 7735.07272131331m²