Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123871 / 25552
↖ ↑ ↗
← N 73.264704°
E160.221863°		 ← 87.95 m → N 73.264704°
E160.224610°		 →
↑
87.98 m
↓
↑
87.98 m
↓
N 73.263913°
E160.221863°		 ← 87.95 m →
7 738 m²		 N 73.263913°
E160.224610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945064544677734 y=0.194950103759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945064544677734 × 217)
    floor (0.945064544677734 × 131072)
    floor (123871.5)     		tx = 123871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194950103759766 × 217)
    floor (0.194950103759766 × 131072)
    floor (25552.5)     		ty = 25552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123871 / 25552 ti = "17/123871/25552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123871/25552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123871 ÷ 217
    123871 ÷ 131072     		x = 0.945060729980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25552 ÷ 217
    25552 ÷ 131072     		y = 0.1949462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945060729980469 × 2 - 1) × π
    0.890121459960938 × 3.1415926535     		Λ = 2.79639904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1949462890625 × 2 - 1) × π
    0.610107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.91670899440833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79639904} λ = 2.79639904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91670899440833))-π/2
    2×atan(6.79854755427823)-π/2
    2×1.42475331655499-π/2
    2.84950663310997-1.57079632675     		φ = 1.27871031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79639904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.221863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27871031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.264704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123871 KachelY 25552 2.79639904 1.27871031 160.221863 73.264704
    Oben rechts KachelX + 1 123872 KachelY 25552 2.79644698 1.27871031 160.224610 73.264704
    Unten links KachelX 123871 KachelY + 1 25553 2.79639904 1.27869650 160.221863 73.263913
    Unten rechts KachelX + 1 123872 KachelY + 1 25553 2.79644698 1.27869650 160.224610 73.263913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27871031-1.27869650) × R
    1.3810000000003e-05 × 6371000     		dl = 87.983510000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27871031-1.27869650) × R
    1.3810000000003e-05 × 6371000     		dr = 87.983510000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79639904-2.79644698) × cos(1.27871031) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.287950514317585 × 6371000     		do = 87.9474989187714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79639904-2.79644698) × cos(1.27869650) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.28796373937158 × 6371000     		du = 87.9515381906743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27871031)-sin(1.27869650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287950514317585-0.28796373937158)×R²
    abs(2.79644698-2.79639904)×1.32250539949808e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32250539949808e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32250539949808e-05×40589641000000     		ar = 7738.10734549507m²