Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12387 / 20143
↖ ↑ ↗
← S 38.125915°
W 43.912353°		 ← 961.01 m → S 38.125915°
W 43.901367°		 →
↑
960.94 m
↓
↑
960.94 m
↓
S 38.134557°
W 43.912353°		 ← 960.90 m →
923 416 m²		 S 38.134557°
W 43.901367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378036499023438 y=0.614730834960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378036499023438 × 215)
    floor (0.378036499023438 × 32768)
    floor (12387.5)     		tx = 12387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614730834960938 × 215)
    floor (0.614730834960938 × 32768)
    floor (20143.5)     		ty = 20143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12387 / 20143 ti = "15/12387/20143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12387/20143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12387 ÷ 215
    12387 ÷ 32768     		x = 0.378021240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20143 ÷ 215
    20143 ÷ 32768     		y = 0.614715576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378021240234375 × 2 - 1) × π
    -0.24395751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76641515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614715576171875 × 2 - 1) × π
    -0.22943115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.720779222687164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76641515} λ = -0.76641515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.720779222687164))-π/2
    2×atan(0.486373115295787)-π/2
    2×0.452686793098282-π/2
    0.905373586196564-1.57079632675     		φ = -0.66542274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76641515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.912353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66542274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.125915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12387 KachelY 20143 -0.76641515 -0.66542274 -43.912353 -38.125915
    Oben rechts KachelX + 1 12388 KachelY 20143 -0.76622340 -0.66542274 -43.901367 -38.125915
    Unten links KachelX 12387 KachelY + 1 20144 -0.76641515 -0.66557357 -43.912353 -38.134557
    Unten rechts KachelX + 1 12388 KachelY + 1 20144 -0.76622340 -0.66557357 -43.901367 -38.134557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66542274--0.66557357) × R
    0.000150829999999935 × 6371000     		dl = 960.937929999587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66542274--0.66557357) × R
    0.000150829999999935 × 6371000     		dr = 960.937929999587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76641515--0.76622340) × cos(-0.66542274) × R
    0.000191750000000046 × 0.786655859243832 × 6371000     		do = 961.009673894971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76641515--0.76622340) × cos(-0.66557357) × R
    0.000191750000000046 × 0.786562729100136 × 6371000     		du = 960.895902456074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66542274)-sin(-0.66557357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.786655859243832-0.786562729100136)×R²
    abs(-0.76622340--0.76641515)×9.31301436956078e-05×R²
    0.000191750000000046×9.31301436956078e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.31301436956078e-05×40589641000000     		ar = 923415.984847101m²